小學數學幾何直觀教學的實踐與思考

黃益彬

（南靖縣山城中心小學，福建 南靖 363600）

數學課堂上合理運用幾何直觀進行教學，可以生動形象地展現數學問題的本質，提高學生的思維能力和分析能力。教師在教學中應合理運用幾何直觀，幫助學生理解概念和算理、利用線段圖直觀理清數量關系、鼓勵學生畫規范的示意圖、個性草圖構建幾何表象。

一、利用畫圖直觀表征，促進學生理解概念

認知心理學認為：概念形成其實可以概括為兩個階段，即從完整表象上升為抽象概念，實現抽象概念在思維過程中的具體再現。小學生的思維正處于具體形象思維向抽象思維過渡，更要通過直觀教學，引導學生從大量的直觀圖形中形成豐富的表象，然后抽象出概念。特別是有些概念特別抽象，學生不易理解，讓學生用語言進行描述與交流比較困難。這時，教師應讓學生畫出直觀圖形，表達出自己構建的概念表象，與同學交流，促進學生對概念的理解。

例如：人教版三年級上冊“倍的認識”教學片段：

1.引發與舊知識沖突，初步認識倍的概念

（1）課件出示例題情景圖：胡蘿卜2根紅蘿卜6根

師：胡蘿卜的根數與紅蘿卜的根數有什么關系？

小結：根據學習經驗，可以比較出這兩個量誰多誰少。

師：你們能換一種新的比較方法嗎？（引發與舊知識沖突，尋找新的比較方法。）

課件演示：把2根胡蘿卜移到一塊排成一行圈成1圈，把六根紅蘿卜移到一塊排成另一行平均分成3份，每2根圈起來。

生：胡蘿卜有1份 紅蘿卜有3份

生：胡蘿卜有2根 紅蘿卜有6根

師揭示倍的概念：像這樣胡蘿卜2根，紅蘿卜有3個2根，我們就說紅蘿卜的根數是胡蘿卜的3倍。讓同桌互相說一說。

接著課件出示：唱歌2人、跳舞6人；紅花2朵、黃花6朵；蘋果2個，梨6個等大量存在3倍關系實物素材，讓學生用眼睛看一看，在心里圈一圈，初步感知倍的含義，與“幾個幾”建立起聯系。最后課件演示去掉素材中的實物，留下兩組集合圈表示一個數是另一個數的“3倍”關系。

首行○ 次行○○○

借助這組圖示，把兩個量之間的倍數關系轉化成圖形之間的關系，讓學生直觀理解倍的關系。

2.在變化中，及時類比，凸顯倍的本質，加深對“倍”概念的理解

（1）改變幾倍數

師：胡蘿卜數不變，增加一個2根紅蘿卜，兩個2根紅蘿卜，3個2根紅蘿卜。（指導學生畫出線段圖表示出它們的倍數關系）

小結：胡蘿卜2根，紅蘿卜有幾個兩根，就是紅蘿卜是胡蘿卜的幾倍。

（2）改變一倍數，再次通過讓學生畫圖直觀理解倍數

師：現在胡蘿卜又多了一根，紅蘿卜還是6根，動手圈一圈。

師：紅蘿卜還是2根2根圈一起嗎？

倍的概念涉及兩個量之間的比較，十分抽象，不易學生理解，在學習過程中，通過以上一系列“變與不變”的對比活動，學生圈一圈、畫一畫，借助集合圖、線段圖，運用不同的圖式表征出倍的概念的本質特征，建構倍的直觀模型，促進學生對概念的深度理解。

二、利用數形結合表征，引導學生借形思數理解算理

在小學數學教學中，數形結合是一種重要的思想方法，低年級教材主要以實物圖、實物操作的形式呈現，畫圖表征策略相對隱性。因此，可以根據教學內容，引導學生依托“形”去思考“數”實現“實物圖—示意圖（直條圖）—線段圖”的過渡遞進。如“求一共有多少朵花？”由實物直觀向幾何直觀的過渡（見圖1）：

圖1

實物圖的圖示過程就是描繪的過程，是小學生真實的幾何直觀的起點階段，但是這不是教學中的目標；直條圖是用幾何圖代替實物，從實物圖向直條圖過渡中，給學生滲透了為什么表示3朵花的直條比表示5朵花的直條短，這時學生從具體形象思維向抽象邏輯思維跨越了一大步；最后從直條圖過渡到線段圖，關鍵要讓學生明白：可以根據需要，一個長度單位表示任意的量，但線段間的長短與兩數之間的大小關系一定要相匹配，比如3朵花的線段一定要比5朵花的線段短，而線段到底畫多長，不是本質。

需要注意的是，在低年級的教學中，不能只停留在直觀圖形的分析上，而要及時地引導學生從直觀圖形提升到數學思考的層面上來。例如，一年級上冊“9+幾”這一課，可以通過五個層次幫助學生理解和掌握“湊十法”。一看——課件演示”湊十“的過程；二擺——自己實踐，動手操作“湊十”；三想——閉上眼睛回憶操作湊十的過程；四說——說出用”湊十“法計算9+4的過程；五填——在算式下面注出用”湊十“法計算的過程。“看”和“擺”是在積累“湊十”數學經驗，“想”和“說”是從數學經驗中建構“湊十”的數學模型，“填”的過程就是學生數學思考的過程。通過這五個步驟的教學，通過數形結合，引導學生由直觀的操作過程過渡到用語言敘述的過程，最后到抽象的計算過程。

這樣，通過教師有意識、有目的地示范，可以讓低年級的學生感受幾何直觀的價值所在，為中高年級的學習做好鋪墊。

三、利用線段圖表征，幫助學生理清數量關系

線段圖具有直觀性、形象性，所以一直都是表征題目意思、分析數量關系、尋求解決問題策略的重要法寶。因此，要鼓勵學生積極利用線段圖去直觀分析和解決問題，學會把復雜的數量關系轉化為直觀的線段圖，理清復雜的數量關系，積累利用幾何直觀解決問題的經驗。

例如：一套衣服共456元，上衣的價錢是褲子的2倍多6元。這套衣服的上衣和褲子各多少錢？通過調查，如果這道題僅從字面上去理解，四年級的學生只有8%左右能正確做出來。如果教師引導學生把題目的數量關系“抽象”成線段圖（如下圖），這樣就把“上衣和褲子的價錢關系”轉化成“兩條線段之間的關系”，最后通過對線段圖的分析，學生會恍然大悟：要求上衣的價錢，首先必須求出褲子（一份）的價錢，而要求出每份的價錢，應該知道3份的價錢是多少：456-6=450（元），褲子的價錢：450÷3=150（元），上衣的價錢：456-150=306（元）或者 150×2+6=306（元）。這樣引導抓住關鍵句，畫出線段圖，直觀感知1倍數，幾倍數之間的對應關系，突出數量關系的分析，為學生解決問題提供強有力的直觀支撐，形成解決問題的方法。

圖2

四、利用幾何直觀，幫助學生建構空間觀念

空間觀念是指根據物體的基本特征抽象出幾何圖形，或根據幾何圖形想象出所描述的實際物體，想象出空間物體的方位和相互之間的位置關系，根據語言描述或通過想象畫出圖形等。學生空間觀念的建立，需要實物感知經驗和圖式表象，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，幫助學生建立幾何表象、建立空間觀念。

例如，“厘米的認識”的教學，如何幫助學生在頭腦中直觀地建立起1厘米的數學模型？可以借助直尺這一實物，先讓學生在直尺上找出1厘米的長度，仔細觀察后，閉上眼睛，記住1厘米的長度，初步建立1厘米的空間觀念；再用手指比劃1厘米的長度，加深對1厘米這一長度的建模；最后讓學生找一找生活中哪些物體的長度大約是1厘米。通過這些活動，學生在頭腦中建立了1厘米的長度概念，發展了空間觀念。

再如，有這樣一道習題：學校有一個長方形花圃，長6米，在修建花圃時，花圃的長增加了3米，寬增加了2米，這樣花圃的面積就增加了27平方米，花圃原來的面積是多少平方米？學生讀題后，教師問：“誰能解決這個問題？”由于本題數量關系比較復雜，光靠“讀”題學生很難理解題目的意思，一時想不出解決問題的辦法，教師適時提示：“想想可以用什么辦法。把這些條件和問題用直觀的方式表達出來？”學生產生了動手畫圖的需要。

圖3

學生畫圖解答（見圖3），

圖形b的面積：2×3=6平方米

圖形c的面積：2×6=12平方米

圖形a的面積：27-6-12=9平方米

原來長方形的寬9÷3=3米

原來長方形的面積：6×3=18平方米

師：3米表示什么?

生：3米表示圖a寬，也就是原來長方形的寬。

師：你是怎么知道的？

生：通過畫圖，從圖上看出來的。

這次的追問，讓學生對幾何直觀表征的價值有更加深刻的體驗。