深度學(xué)習(xí)背景下的小學(xué)數(shù)學(xué)模型建構(gòu)

陳文淵

（松溪縣實驗小學(xué)，福建 松溪 353500）

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系、和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在義務(wù)教育階段，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號表達(dá)的數(shù)學(xué)的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。［1］建構(gòu)數(shù)學(xué)模型就是運用數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)的知識與技能去解決現(xiàn)實世界中實踐問題的過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的建模思想，可以有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高教學(xué)質(zhì)量。教師在教學(xué)過程中應(yīng)如何幫助學(xué)生建構(gòu)模型，在學(xué)生深刻理解知識的同時，讓學(xué)生的思維走向深刻。

一、精選問題，創(chuàng)設(shè)情境——建模的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)模型都是具有生活背景的，這是建構(gòu)模型的基礎(chǔ)。教師應(yīng)將生活中的素材及時引入課堂，將教材的內(nèi)容通過生活中熟悉的事例，以情境的方式展示給學(xué)生，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，喚起學(xué)生對知識的渴望和追求。

比如在教學(xué)“路程、時間與速度”這一課時，有的教師是這樣創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課的。

1.第一場比賽

師：昨天，我們班有三位同學(xué)為誰跑得快的問題爭論不休，于是，他們舉行了一場比賽，比賽結(jié)果如表1：

表1

師：從表1中你得到什么數(shù)學(xué)信息？有什么想法？

生1：我發(fā)現(xiàn)他們跑的時間不一樣，但路程是一樣的。

生2：我覺得葉××跑得最快，因為他用的時間最少。

師：也就是說，如果路程相同，比快慢只要比時間就行了。

2.第二場比賽

師：陳老師和葉××也參加了比賽，結(jié)果如下：

生3：還是葉××同學(xué)跑得快，兩個人都跑了8秒，陳老師跑了48米，可葉××同學(xué)跑了50米。

師總結(jié)：如果用的時間相同，比誰快可以看路程（見表2）。

表2

3.第三場比賽

生4：陳老師和徐××跑的路程和用的時間都不相同，怎么知道誰快呢？（見表3）

表3

生5：可以比速度。

陳老師：48÷8=6（米）徐××：50÷10=5（米）6米＞5米

陳老師快。

師：這6米表示什么？5米呢？

生6：表示老師每秒跑6米，徐××每秒跑5米。

師：也可以說陳老師的速度是6米/秒，徐××的速度是5米/秒。［2］

本環(huán)節(jié)將跑步比賽這項活動引入課堂，能激發(fā)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教師將不同的數(shù)據(jù)巧妙地蘊含在情境之中，使學(xué)生深刻體會，跑得快慢與時間和路程有關(guān)。如果時間和路程都不相同，要比速度，求速度的策略是應(yīng)需而生，求速度的方法“路程÷時間=速度”這一模型也在教師的引導(dǎo)下一步步構(gòu)建起來。

二、去偽存真，揭示本質(zhì)——建模的關(guān)鍵

引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較、分析、抽象、概括等數(shù)學(xué)活動，剝掉外在的非本質(zhì)因素，抽象出本質(zhì)屬性，得到模型，這是構(gòu)建模型最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。

比如在教學(xué)蘇教版四年級下冊“乘法分配律”一課時，為了能在多變的問題情境中抓住不變的本質(zhì)，筆者設(shè)計以下幾個教學(xué)環(huán)節(jié)，構(gòu)建“乘法分配律”的模型。

環(huán)節(jié)一：建立等式

師：（出示教師家客廳和廚房的平面圖圖1）一共要用多少塊地磚？

圖1

生1：我是這樣算的，10×5+3×5，分別算出客廳和餐廳需要的塊數(shù)，再相加。

生2：（出示自己畫的草圖）你們看，兩個房間合在一起，一行要13塊，要鋪5行，算式是（10+3）×5。

師：這兩種方法有什么不同？結(jié)果相等嗎？

生2：我算過了，結(jié)果都是65塊。第一種方法是分開算，第二種方法是合起來算。

生1：其實不用算也知道相等，客廳鋪了10個5塊，餐廳鋪了3個5塊，10個5加3個5正好是13個5，所以相等。

環(huán)節(jié)二：加深理解

師：出示書房和臥室的平面圖（如圖2），這兩個房間的面積有多大？

圖2

生3：6×4+6×5或（4+5）×6

師：為什么可以合起來算？

生3：因為這兩個長方形各有一條邊是相同的，所以可以合成一個大的長方形，將不同的邊相加，再乘以相同的邊。

環(huán)節(jié)三：直觀感受

師：該去買地磚和墻磚了，如果墻磚買20塊，每塊60元，地磚買40塊，每塊50元，我一共要用多少元？

生4：20×60+40×50先算出墻磚的價錢，再加上地磚的價錢就行了。

生5：我認(rèn)為也可以合起來算，（20+40）×（60+50）。

生6：每塊的價錢不一樣，兩種磚的塊數(shù)也不一樣，不可以合起來算。

師：出現(xiàn)了不同的意見，為了讓大家一眼看出到底可不可以合起來算，我們可以用一個長方形的長表示墻磚每塊的價錢，寬表示買的塊數(shù)，那么，面積表示什么？（如圖3）

圖3

生：表示墻磚的總價和地磚的總價。

師：現(xiàn)在能看出來為什么不能合在一起算了嗎？

生：因為兩個長方形沒有一條邊相同，所以不能合成一個大的長方形。

環(huán)節(jié)四：揭示本質(zhì)

師：如果想要合起來算，該怎么辦？

生：將題目中的條件改一改，如果買的塊數(shù)一樣，就可以合起來算了。

生：也可以買價格一樣的磚，這樣也可以合起來算。［3］

乘法分配律和其他運算律相比，結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，意義更隱蔽，對學(xué)生來說很抽象。如果只讓學(xué)生記住“乘法分配律”的形，計算時，學(xué)生很容易將它和其他運算律混淆。在本節(jié)課的教學(xué)中，教師通過一個相同的長方形這一直觀圖示的形象支撐，將總塊數(shù)、總面積、總價錢三個看似毫不相干的問題脫去生活的外衣，建立起乘法分配律的直觀模型，每題中表示信息的兩個長方形有一條邊是相同，求面積才可以分別相乘再相加，也可以先求不同邊的和再乘相同的邊，使學(xué)生真正理解乘法分配律的本質(zhì)特點，思維水平發(fā)生質(zhì)的飛躍。

三、經(jīng)歷過程，浸潤思想——建模的靈魂

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的根本，是探索研究數(shù)學(xué)所依賴的基礎(chǔ)，也是課程教學(xué)的精髓。因此，在建模的過程中，教師要適時滲透數(shù)學(xué)思想，增加建模思維的厚度，為學(xué)生的終身發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。

比如在教學(xué)“口算兩位數(shù)加兩位數(shù)”一課時，筆者是這樣引導(dǎo)學(xué)生解決問題的。

師：老師準(zhǔn)備帶二年級四個班的同學(xué)（各班人數(shù)如下表）去參觀博物館，每兩個班同乘一輛車，請同學(xué)們當(dāng)小小設(shè)計師，以小組為單位，幫忙設(shè)計乘車方案。

?

生1：（1）班和（2）班同乘一輛車，（3）班和（4）班同乘一輛車。

生2：（2）班和（3）班同乘一輛車，（1）班和（4）班同乘一輛車。

生3：（4）班和（3）班同乘一輛車，（1）班和（2）班同乘一輛車。

生4：第三種方案和第一種是一樣的。

生5：方案沒有寫全。

師：同學(xué)們這樣說，有點亂。能不能運用以前學(xué)習(xí)的排列組合的知識，來設(shè)計方案。

小組討論后匯報：

第一種方案：（1）班和（2）、（3）班和（4）班同乘一輛車。

第二種方案：（1）班和（3）、（2）班和（4）班同乘一輛車。

第三種方案：（1）班和（4）、（2）班和（3）班同乘一輛車。

師：現(xiàn)在找全了嗎?

生6：找全了。

師：為什么這次同學(xué)寫的方案能讓我們一眼就看出沒有遺漏和重復(fù)的呢？

生7：因為我們是按照順序進(jìn)行排列、組合的,這樣就不容易出現(xiàn)遺漏或重復(fù)的現(xiàn)象。

在以上的教學(xué)中，第一次寫出來的方案是無序的，結(jié)果出現(xiàn)了重復(fù)或遺漏的現(xiàn)象，讓學(xué)生感受到無序的雜亂。然后引導(dǎo)學(xué)生運用排列、組合的方法進(jìn)行有序思考，從無序到有序。學(xué)生不僅解決了問題，還感受到有序思想的重要性，從而讓思維走向深入。

四、舉一反三，靈活運用——建模的延伸

用所建立的數(shù)學(xué)模型來解答生活中的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)模型的實際應(yīng)用價值，體驗到所學(xué)知識的用途和益處，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、靈活解決問題的能力，讓思維走向深刻。

案例：《植樹問題》教學(xué)片段

（課件出示）

師：如果有10個蘑菇，那么有多少朵花？

生1：有11朵花。可以把花想成樹，把蘑菇想成間隔，就是兩端都載樹，棵樹比間隔數(shù)多1。蘑菇的朵數(shù)+1=花的朵數(shù)。

生2：也可以把蘑菇想成樹，那花就是間隔，這時，就是兩端都不栽樹，棵數(shù)比間隔數(shù)少1。蘑菇的朵數(shù)+1=花的朵數(shù)。

師：同學(xué)們觀察的角度不一樣，想的情況就不同，但是殊途同歸，結(jié)果都是11朵。［4］其實生活中的很多問題都可以用植樹問題來解決。比如將一根木頭鋸成5段，需要鋸幾次?

生3：需要鋸四次，可以把每段長度看作間隔數(shù)，鋸的次數(shù)看成樹，相當(dāng)于兩端都不種，棵樹等于間隔數(shù)減1。鋸的次數(shù)=鋸的段數(shù)-1。

生4：老師，我覺得昨天爬樓梯這個問題也可以用植樹問題來解釋，從1樓到3樓要30秒，那么，從1樓到10樓就要135秒。

生5：可以把樓層看作樹，樓梯數(shù)看作間隔，1到3樓有3個樓層、2層樓梯，要30秒，爬一層樓梯要15秒，1到10樓有9個樓層，要15×9=135秒。

生6：我覺得敲鐘問題也可以用這個方法來解決，如果把敲鐘次數(shù)看作樹，中間間隔的時間就可以看作間隔數(shù)。敲鐘的次數(shù)=間隔的次數(shù)+1。

師：同學(xué)們可真能干，看來植樹問題在生活中隨處可見，其實解決這類問題的關(guān)鍵就是要明確把什么看作樹，把什么看作間隔，再根據(jù)樹與間隔之間的關(guān)系來解決問題。

數(shù)學(xué)模型來源于生活，也運用于生活，以植樹問題為模型來解決生活中的問題，讓模型更加豐滿且具有生命力，同時培養(yǎng)了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，深化模型的內(nèi)涵，拓展模型的外延。在教師的精心引導(dǎo)下，學(xué)生的思維豁然開朗，舉一反三的能力得到培養(yǎng)，數(shù)學(xué)模型的使用價值得以彰顯。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，教師要將模型思想滲透于教學(xué)的過程中。要借助合適的素材，幫助學(xué)生建立有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，不斷總結(jié)建模的方法，讓學(xué)生逐漸形成運用模型來解決問題的習(xí)慣和技能，為終身學(xué)習(xí)和可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。