算法多樣化及其效果的實證研究

安 茜 盧盛華 吳念陽

（上海師范大學教育學院，上海 200234）

一、問題的提出

算法（algorithm）是一個古老的數(shù)學概念。在我國，很早既已出現(xiàn)，如11世紀賈憲所著的《黃帝九章算法西草》與楊輝所著的《詳解九章算法》中，就涉及算法。美國《數(shù)學的原理與實踐》中把算法定義為解決問題的程序步驟的一個概要說明，這一程序步驟必須具有確定性、有效性和有限性。［1］

算法多樣化，是這樣的一種教學方式，它鼓勵學生用多種策略解決問題，允許多種算法的存在，讓學生根據(jù)自己的認知結(jié)構(gòu)去發(fā)現(xiàn)算法，與同伴交流算法，教師引導學生進行算法的分析、歸納和比較。算法多樣化的教學目的不是為了追求算法多樣化，而是通過這一教學方式，激發(fā)學生的學習積極性，尊重個體差異，讓學生在已有的知識、經(jīng)驗中，獨立思考、積極探索。［2］

算法的多樣化可以激發(fā)學生思考和歸類算法，對問題解決策略進行提煉，從而達到對算法背后必然性的理解。［3］有研究者從具體的課堂片段分析中在理論層面探討算法多樣化的效果。陳麗丹通過分析算法多樣化教法之下的一年級20以內(nèi)退位減法的課堂片段，指出算法多樣化教學的效果在于促進學生的個性化學習，不同算法展示了學生不同的認知個性和發(fā)展水平。［4］也有研究者通過教學對比實驗來分析算法多樣化的效果。蘇子東針對“20以內(nèi)進位加法”教學內(nèi)容，對兩個班用了算法多樣化教學和算法單一化的教學，對兩種教法之下的學生在課堂上的積極性和課堂氣氛做了描述性的比較，算法多樣化教學課堂上的學生表現(xiàn)更為主動，課堂氣氛更為活躍。［5］王桂華對算法多樣化不同處理方式下的學習效果進行了比較，發(fā)現(xiàn)算法多樣化教學能使學生掌握更多的算法。［6］

從上述的研究中可以看到，目前國內(nèi)對算法多樣化效果的研究多集中于對某一或某幾個教學片段是否符合算法多樣化教學的要求來進行評判和反思，雖也有為數(shù)不多的研究通過對比教學來考查算法多樣化的效果，但只是做了粗略的比較。

數(shù)學觀體現(xiàn)在具體的數(shù)學學習之中，對已掌握的算法是否能透徹地理解其算理，可判斷學生數(shù)學觀是積極的還是消極的。積極的數(shù)學觀關聯(lián)著對相應算理的透徹理解,兩者是相輔相成的,本研究將把兩個方面結(jié)合起來進行考察。

算法多樣化的教學效果究竟怎樣呢？這種教學方式是否能改變小學生接受式的數(shù)學學習方式呢？它給學生的數(shù)學觀帶來怎樣的影響呢？為了更有效地考察算法多樣化的效果，本研究將就“常規(guī)教法”與“算法多樣化”進行教學對比實驗。

二、研究方法

（一）被試

分別在一年級和三年級各選取在期中考試成績上沒有顯著差異的兩個班級。一年級的兩個班級均已經(jīng)掌握20以內(nèi)的進位加法，人數(shù)分別為33、32，男女性別基本平衡；三年級的兩個班級的人數(shù)分別為34、36，男女性別基本平衡。要探討兩種教法對小學生數(shù)學學習的影響，應該在小學各年級抽取被試。但限于精力與時間，本研究只選取了一、三年級的被試。

（二）材料

1.不同教學方式之后使用的即時筆試測驗材料。

2.延時一周后用來做數(shù)學觀訪談的材料。

（1）一年級訪談材料

一年級訪談的具體內(nèi)容為20以內(nèi)的退位減法。首先呈現(xiàn)如圖1所示的12根小棒，要求被試從圖中的12根小棒中劃掉5根，在被試完成這項任務后，主試出示與前面相同的圖，主試應用和被試不同的拿法劃掉5根小棒之后詢問被試：不同拿法結(jié)果卻一樣的原因是什么。

圖1

（2）三年級訪談材料

三年級的訪談內(nèi)容為平均數(shù)的求解。首先呈現(xiàn)題卡（如圖2），要求被試求出他們?nèi)似骄袔最w糖果，然后主試在準備好的卡片中選出被試求解的方法之后，主試展示用和被試不同求解平均數(shù)的方法，詢問被試不同算法結(jié)果卻一樣的原因。

求解平均數(shù)的題卡：

圖2

準備的求解平均數(shù)方法展示的卡片如圖3、圖4所示：

方法一

圖3

方法二

圖4

（三）程序

1.實驗處理

（1）常規(guī)教法

針對一年級的被試，首先通過習題對20以內(nèi)的進位加法進行復習，然后教師通過具體的問題情境引出退位減法，用十幾根短棒（其中十根用皮筋扎在一起）為被試演示“破十法”，然后讓被試通過自己動手擺小棒來體驗“破十法”。在被試基本學會用“破十法”來計算退位減法之后，教師讓被試完成一組退位減法的任務。

對于三年級的被試，教師通過對生活中平均數(shù)的解釋來為被試講解平均數(shù)的基本概念，之后通過各種實例來講解通過“先合后分”的方法求解平均數(shù)。在被試基本掌握求平均數(shù)的方法之后，教師給被試布置一組求平均數(shù)的練習。

（2）算法多樣化

在算法多樣化教學中，教師并不直接為被試講解退位減法的算法（或求解平均數(shù)的算法），而是鼓勵被試首先獨自思考，然后進行小組內(nèi)部討論，讓每個小組至少派一位被試對所在小組內(nèi)部的算法進行分享，接著教師引導被試對班級中出現(xiàn)的不同算法進行歸納，師生共同評價歸納出來的算法。然后，教師讓被試進行所學內(nèi)容的練習。

2.后測

在用不同的教法干預之后，對被試進行限時筆試測試。在進行不同教法干預一周后，對兩個年級的四個班級的學生以具體的數(shù)學任務為依托，進行關于數(shù)學觀的訪談。

三、結(jié)果與分析

（一）解題情況

不同教法之下，一年級的兩個班級和三年級的兩個班級的即時后測成績的基本情況如表1和表2所示。

表1 一年級兩個班級即時后測成績及差異檢驗

表2 三年級兩個班級即時后測成績及差異檢驗

由表1和表2可見，在常規(guī)教法和算法多樣化之下，一年級和三年級的后測成績均較好。一年級的兩個不同教法之下的班級在測試成績上的差異不顯著（p＞0.05），三年級的兩個不同教法之下的班級在測試成績上也沒有顯著差異（p＞0.05）。由此可見，盡管教學方式不一樣，但對于一年級和三年級的被試而言，在相同的時間內(nèi)被試在計算題目正確率上不存在顯著差異。

（二）各組被試在數(shù)學觀的訪談中的表現(xiàn)

在常規(guī)教法和算法多樣化教學方式之下，一年級和三年級被試在訪談中的表現(xiàn)分別如表3和表4所示。

表3 不同教法下一年級被試在訪談中的表現(xiàn)

由表3可知，在接受算法多樣化教學的一年級被試中，有17人能夠解釋算法不同而結(jié)果相同，16人不能解釋算法不同而結(jié)果相同。而在接受常規(guī)教法的被試中，只有7人能夠解釋算法不同而結(jié)果相同，25人不能解釋算法不同而結(jié)果相同。

表4 不同教法下三年級被試在訪談中的表現(xiàn)

由表4可知，在接受算法多樣化教學的三年級被試中，有14人能夠解釋算法不同而結(jié)果相同，20人不能解釋算法不同而結(jié)果相同。而在接受常規(guī)教法的被試中，只有6人能夠解釋算法不同而結(jié)果相同，30人不能解釋算法不同而結(jié)果相同。

將兩種教學方式之下被試能夠解釋算法不同而結(jié)果相同的人數(shù)做χ2檢驗，結(jié)果見表5。χ2檢驗的結(jié)果表明，一年級和三年級被試在兩種教學方式之下能夠解釋算法不同而結(jié)果相同的人數(shù)都存在顯著差異，可見，對不同算法背后的必然性的理解方面，算法多樣化教學要比常規(guī)算法教學的效果更好。

表5 不同教法之下被試達到“能解釋”的人數(shù)及差異檢驗

四、結(jié)論

從不同算法教學方式之后的即時測驗成績可看出，在20以內(nèi)退位減法和求解平均數(shù)的教學中，不管是算法多樣化教學還是常規(guī)算法教學都能使學生掌握基本的算法技能。

在算法多樣化教學和常規(guī)教法之下能夠解釋算法不同而結(jié)果相同被試的人數(shù)有差異顯著，學生把算法看作是一種必然性還是符號的集合受到教學方式的很大影響。在對不同算法背后的算理的理解上，算法多樣化教學效果顯著好于常規(guī)算法教學。在算法多樣化教學中，教師放手讓學生去發(fā)現(xiàn)、構(gòu)建算法，即使有的學生的算法是繁瑣的，在教師眼中甚至是拙劣的，這些并不妨礙學生的獨立思考。在不同算法的交流中，學生可以通過同化和順應他人的算法來對不同算法有更為深刻和全面的理解。在教師引導之下對不同算法進行歸類和評價的過程中，學生對不同算法又有了更深層次的理解。而在常規(guī)算法教學中，學生接受到的是由教師傳遞而來的現(xiàn)成的算法，對數(shù)學的學習更多的是接受和模仿，限制了學生獨立思考，對不同算法的理解更多的是止于符號。因此，只有給學生足夠的空間讓學生去發(fā)現(xiàn)，去再創(chuàng)造算法，才能使其真正領會數(shù)學是思維的體操。