依托多維素材刻畫概念本質(zhì)

王宇

【摘要】筆者通過(guò)研究“平行”概念的有關(guān)上位知識(shí)，分析整理教學(xué)過(guò)程中的兩大難點(diǎn)問題，在教學(xué)實(shí)踐中依托多維素材，讓學(xué)生經(jīng)歷驗(yàn)證平行的過(guò)程，并把概念的概括與應(yīng)用有機(jī)融合，多方位刻畫概念本質(zhì)，形成既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又具有自己特色的教學(xué)實(shí)踐成果。

【關(guān)鍵詞】上位知識(shí) 概念本質(zhì) 多維素材

一、“平行”概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)

大多數(shù)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中將平行線定義為“在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線互相平行，其中一條是另一條的平行線”。其中“在同一平面內(nèi)”是概念的前提條件，“永不相交的兩條直線”是概念的關(guān)鍵要素。為了更好地把握概念的本質(zhì)，筆者收集了有關(guān)平行的上位數(shù)學(xué)知識(shí)，與平行概念相關(guān)的知識(shí)中涉及“平面”、平行線的定義，平行的性質(zhì)，等等。

在解讀這些上位數(shù)學(xué)知識(shí)后，筆者對(duì)于平行概念的本質(zhì)有幾點(diǎn)新的認(rèn)識(shí)：

（1）“平面”是個(gè)高度抽象的數(shù)學(xué)概念，它來(lái)自于生活又高于生活，數(shù)學(xué)上的“平面”是沒有大小、厚薄、寬窄之分，且可以無(wú)限延展的，而學(xué)生日常接觸的“平面”是有限大的，在本課學(xué)習(xí)中如果學(xué)生沒有體會(huì)過(guò)平面的無(wú)限延展性，局部大的平面與無(wú)限長(zhǎng)的直線必然產(chǎn)生沖突，從而影響運(yùn)用延長(zhǎng)直線辨別是否相交活動(dòng)的展開。

（2）從平行線的定義中，我們發(fā)現(xiàn)同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系其實(shí)包含三種：相交、平行、重合。三種關(guān)系是互相并列的，外延完全對(duì)立，理解了其中一種關(guān)系，必然對(duì)其他關(guān)系的感悟有很大益處。

（3）過(guò)直線外一點(diǎn)畫平行線的唯一性與平行線間的傳遞性，蘊(yùn)含的是平行線“兩條直線間的距離處處相等”特性，但學(xué)生日常判斷平行與畫平行線時(shí)往往根據(jù)肉眼直觀的感覺，不會(huì)主動(dòng)運(yùn)用工具驗(yàn)證與做圖。

二、“平行”概念教學(xué)的問題聚焦

鑒于上述對(duì)于平行概念的認(rèn)識(shí)，筆者收集了大量關(guān)于平行概念教學(xué)片段，整理發(fā)現(xiàn)教學(xué)過(guò)程中的兩大難題：

焦點(diǎn)一：如何處理“同一平面”概念前提條件的嚴(yán)密性與學(xué)生可接受性之間的矛盾？

學(xué)生在學(xué)習(xí)平行與相交時(shí)原本不可能想到“同一平面”，教師有目的地創(chuàng)設(shè)障礙，試圖通過(guò)比較差異引發(fā)學(xué)生對(duì)同一平面的關(guān)注。但是教室中的異面素材比學(xué)生生活中的異面經(jīng)驗(yàn)抽象度高，因此容易造成部分學(xué)生無(wú)所適從。同時(shí)，學(xué)生原本對(duì)位置關(guān)系的分類已經(jīng)形成了比較清晰的表象，現(xiàn)在又出現(xiàn)了一種既不相交又不平行的位置關(guān)系，造成了強(qiáng)烈的干擾，實(shí)在是得不償失。

焦點(diǎn)二：如何化解概念關(guān)鍵要素“永不相交”的無(wú)限性與延長(zhǎng)操作局限性之間的矛盾？

我們教師往往對(duì)兩條直線“永不相交”的驗(yàn)證感到無(wú)奈，因?yàn)闊o(wú)限延長(zhǎng)直線本身就無(wú)法操作完成，而且學(xué)生也無(wú)法每次都準(zhǔn)確地延長(zhǎng)一條直線至較長(zhǎng)長(zhǎng)度，延長(zhǎng)活動(dòng)還容易出現(xiàn)越延長(zhǎng)誤差越大，甚至把平行變成了相交。

縱觀上述兩個(gè)焦點(diǎn)，實(shí)際上都是由數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性與學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平不一致造成的，矛盾的化解都指向了教與學(xué)的信息載體——學(xué)習(xí)素材，教師選取怎樣的素材能有效調(diào)動(dòng)學(xué)生關(guān)于“平面”的生活經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)平面的無(wú)限延展性：運(yùn)用怎樣的素材能夠直觀量化直線間的距離，并能讓學(xué)生動(dòng)手驗(yàn)證平行成為關(guān)鍵所在。

三、“平行”概念教學(xué)的選材策略

素材是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題、獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、提高數(shù)學(xué)能力的載體。筆者通過(guò)對(duì)素材的合理選取，優(yōu)化材料呈現(xiàn)的時(shí)間與邏輯順序，動(dòng)態(tài)使用等策略激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)過(guò)程，實(shí)現(xiàn)概念的有效建構(gòu)。

（一）選用“生活”素材，激活經(jīng)驗(yàn)體驗(yàn)“無(wú)限”與“部分”

筆者在選擇學(xué)習(xí)材料時(shí)充分考慮學(xué)生的生活實(shí)際，以直觀的形象事物為載體，結(jié)合有趣的談話與生動(dòng)的操作，力求達(dá)到“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的效果。

1，課前談話，了解平面

師：看到“面”想到了什么？

生1：面條，牛肉干面。

師：除了吃的面，生活中還有其他的嗎？

生2：桌面、臉面。

師：你們摸一摸臉面，再摸一摸桌面，感覺一下。有區(qū)別嗎？

生3：不一樣，臉面凹進(jìn)凹出，桌面平平的。

師：哪里還有平平的面呢？

生4：黑板。

生5：教室地面。

生6：操場(chǎng)地面。

師：像這些平平的面都可以叫做平面（板書平面）。

2，動(dòng)作演示，感知同一平面

（教師演示：2只米老鼠先后出現(xiàn)在大屏幕上）

師：一個(gè)平面內(nèi)出現(xiàn)了什么？

生7：2只米老鼠都在一個(gè)平面內(nèi)。

（教師演示：1只米老鼠消失來(lái)到桌面上）

師：現(xiàn)在呢？

生8：1只米老鼠在這個(gè)平面，1只米老鼠在那個(gè)平面，它們?cè)诓煌钠矫嫔稀?/p>

師：它們想在同一個(gè)平面內(nèi)，怎么辦？

生：可以把這只米老鼠請(qǐng)到桌面上來(lái)。

平面與同一個(gè)平面的感知都是讓學(xué)生通過(guò)操作觀察，調(diào)動(dòng)生活中的經(jīng)驗(yàn)兩個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)展開的，貼近生活的素材能夠讓學(xué)生不知不覺中建立“同一平面”概念的表象，而整節(jié)課就圍繞這一默認(rèn)的前提開展研究。

3，拓展平面，體驗(yàn)“無(wú)限”

f呈現(xiàn)折疊的四分之一張白紙貼在黑板上）

師：這也是一個(gè)（平面），現(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)出現(xiàn)了一條直線，誰(shuí)能來(lái)畫？

（一生上臺(tái)畫）

師：還能再畫嗎？

生：能（向左邊延長(zhǎng)畫到底）。

師：還能再畫嗎？

生：能（向右邊延長(zhǎng)畫到底）。

師：還能再畫嗎？

生1：不能，已經(jīng)到底了。

生2：能，因?yàn)橹本€是無(wú)限長(zhǎng)的，只要平面再大一些就可以了，

（師逐步展開白紙）

師：還能再畫嗎？

生：能。

師：想象一下，平面一直變大，直線能畫得完嗎？

生：不能，只要平面無(wú)限大，就可以一直畫。

師：是的，不管怎么畫，我們只能畫出直線的（一部分）。

“還能再畫嗎？”這一問題激活了直線無(wú)限長(zhǎng)特性的知識(shí)儲(chǔ)備，通過(guò)創(chuàng)設(shè)直線無(wú)限長(zhǎng)與平面有限大的矛盾，引發(fā)學(xué)生思辨，再適時(shí)地變大平面給學(xué)生一個(gè)想象的支撐，學(xué)生真切地感受到平面的“無(wú)限”與“部分”，從而進(jìn)一步理解直線的“無(wú)限”與“部分”，水到渠成地會(huì)用延長(zhǎng)直線來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證相交。

（二）妙用“方格”素材，擊破難點(diǎn)經(jīng)歷“驗(yàn)證”與“推理”

如何讓學(xué)生能主動(dòng)地聚焦距離，并運(yùn)用距離是否相等來(lái)判定平行是本節(jié)課的難點(diǎn)，因此有效素材的發(fā)掘與使用成為本課成功與否的關(guān)鍵。

1，制造沖突、關(guān)注距離

黑板上展示6組圖形（見上圖），學(xué)生分類后匯報(bào)：

生：我們分成兩類，②④一類是交叉的，其余的是不交叉。

師：你說(shuō)的交叉指的是什么意思？

生：兩條直線碰到一起，中間有一個(gè)點(diǎn)。

師：哦！你說(shuō)的交叉在數(shù)學(xué)中我們稱為相交，這個(gè)點(diǎn)稱為交點(diǎn)（板書相交）。

師：你們對(duì)他們組的分法有意見嗎？

生：我覺得③也是相交的，因?yàn)檫@兩條是直線，畫長(zhǎng)一點(diǎn)后會(huì)碰到一起，也有交點(diǎn)。（請(qǐng)生上臺(tái)演示驗(yàn)證）

師：現(xiàn)在你們覺得③是——

生：相交，它沒有把相交的部分畫出來(lái)。我覺得⑤也是相交的。

師：哦，我們一起看看（媒體呈現(xiàn)），請(qǐng)你們驗(yàn)證一下有什么發(fā)現(xiàn)？

（學(xué)生同桌合作延長(zhǎng)）

生：⑤也是相交的，如果紙?jiān)俅笠稽c(diǎn)就可以把相交的部分畫出來(lái)了。

（大多數(shù)學(xué)生點(diǎn)頭贊同）

師：如果我們不延長(zhǎng)直線，你們有什么巧妙的辦法看出它們相交？

（學(xué)生沉默）

（媒體呈現(xiàn)方格圖）

師：借助方格圖你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：這里開口大，到這里越來(lái)越小了，這樣下去肯定會(huì)相交。

生2：剛開始寬度有9格，到這里只有5格，如果再延長(zhǎng)（媒體及時(shí)演示延長(zhǎng)）寬度越變?cè)叫。?格的時(shí)候就會(huì)有交點(diǎn)，所以這兩條直線相交。（生鼓掌）

（隱去方格圖）師：現(xiàn)在能看出這兩條直線相交嗎？

生：能，這兩條直線間隔越來(lái)越小，他們肯定會(huì)有交點(diǎn)，只不過(guò)還沒把交點(diǎn)畫出來(lái)。

在三個(gè)環(huán)節(jié)的活動(dòng)中，在學(xué)生迷茫時(shí)適時(shí)呈現(xiàn)方格素材，幫助其聚焦思考的角度，在學(xué)生釋疑后隱去方格素材，促使其運(yùn)用理性的思維去判斷。

2，量化距離，驗(yàn)證平行

師：那①與⑥是相交的嗎（先不呈現(xiàn)方格圖）？

生：不相交，因?yàn)樗鼈兊木嚯x一樣。

師：你怎么知道距離一樣，能證明你的觀點(diǎn)嗎？（學(xué)生人手一份透明的方格圖）

生：①我先用方格紙對(duì)齊，數(shù)一數(shù)后發(fā)現(xiàn)距離都是4格，它們不會(huì)相交。

師：真的嗎？我們延長(zhǎng)看看。（媒體演示）

生1：延長(zhǎng)后距離還是4格，不管怎么延長(zhǎng)距離都是4格，所以肯定不會(huì)相交。

生2：⑥也不相交，因?yàn)樗木嚯x都是3格。（展臺(tái)演示旋轉(zhuǎn)方格紙與線對(duì)齊）

師：真厲害，用工具驗(yàn)證并能說(shuō)明理由，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好方法，謝謝你！那現(xiàn)在你們對(duì)相交有什么看法？

生1：相交會(huì)有交點(diǎn)。

生2：沒有交點(diǎn)也是相交，只要兩條直線間的距離有大有小。

（指著⑤）師：真的沒有交點(diǎn)嗎？

生1：我的意思是指圖上沒畫出來(lái)。

生2：當(dāng)兩條直線距離不變時(shí)，再怎么延長(zhǎng)也不會(huì)相交。

師：是的，像①與⑥這樣的兩條直線距離處處相等，永不相交的兩條直線我們還可以說(shuō)它們互相平行。

“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”，為什么不能驗(yàn)證距離相等呢？最根本的原因在于我們數(shù)學(xué)老師受困于自己的數(shù)學(xué)知識(shí)，認(rèn)為距離一定要借助于垂線，否則無(wú)法驗(yàn)證。其實(shí)二年級(jí)時(shí)我們就利用方格圖讓學(xué)生畫平移后的圖形，應(yīng)用的正是方格圖能量化距離的功能，因此筆者提供入手一份透明方格紙，讓學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)距離不變，再結(jié)合媒體動(dòng)態(tài)地演示延長(zhǎng)過(guò)程，推導(dǎo)出肯定沒有交點(diǎn)這一結(jié)論。這樣的過(guò)程既讓學(xué)生深刻理解了概念的本質(zhì)，又發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理能力。

（三）活用“動(dòng)態(tài)”素材，鞏固知識(shí)訓(xùn)練“想象”與“整理”

對(duì)于靜止的學(xué)習(xí)材料通過(guò)改造，運(yùn)用動(dòng)態(tài)的方式呈現(xiàn)，并賦予學(xué)生探索、交流、思辨的空間，能夠拓寬學(xué)生認(rèn)知的廣度，豐富想象能力，使其思維得到不同的發(fā)展，并在解決問題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)新問題，產(chǎn)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動(dòng)力，真正成為學(xué)習(xí)的主體。在平行概念的鞏固應(yīng)用環(huán)節(jié)，筆者選用了以下幾組素材。

1.判斷下面各組直線是平行線嗎？（媒體依次呈現(xiàn)）

（第一條直線呈現(xiàn)）生：不是，2條直線才能說(shuō)平行線，這是一條直線。

（媒體呈現(xiàn)第二條直線）生：不是，這兩條直線間的距離越來(lái)越小，肯定會(huì)有交點(diǎn)，它們是相交的。

師：如果直線。不動(dòng)，直線6怎樣運(yùn)動(dòng)才能平行呢？

生1：（手比畫）這樣旋轉(zhuǎn)。（媒體運(yùn)動(dòng)成圖3）

生2：不對(duì)，還得轉(zhuǎn)。（媒體繼續(xù)運(yùn)動(dòng)成圖4）

生3：好了。

生4：過(guò)了（學(xué)生意見分散）。

生5：用方格圖驗(yàn)證一下。

（媒體提供方格圖）

生：剛好平行，距離都是一樣的。

師：如果再旋轉(zhuǎn)呢？

生：不平行，距離變了，只有這里才是平行。

動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)直線過(guò)程中，兩直線間的距離發(fā)生著變化導(dǎo)致位置關(guān)系發(fā)生變化，學(xué)生通過(guò)觀察由確定到迷惑，再借助直觀的方格圖驗(yàn)證，能夠體會(huì)到過(guò)直線外一點(diǎn)只能有一條平行線，進(jìn)一步強(qiáng)化了平行線間距離相等的本質(zhì)特征，感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與運(yùn)用工具檢驗(yàn)平行的必要性。

2，動(dòng)態(tài)平移小魚圖，描一描平行線

師：其實(shí)我們很早就接觸過(guò)平行線，請(qǐng)看小魚動(dòng)起來(lái)了，你能找到原來(lái)圖形與現(xiàn)在圖形里面的平行線嗎？（媒體動(dòng)態(tài)演示小魚平移過(guò)程，留下兩幅圖形）

生：有，我發(fā)現(xiàn)這一條直的和這里一條直的是平行線。

師：眼力真尖，這里還藏著許多平行線，請(qǐng)同學(xué)們找一找，并用不同顏色的筆描一描，開始。（生描、匯報(bào)展示）

師：你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：圖形平移以后兩條線都是平行線。（師補(bǔ)充：對(duì)應(yīng)的線）

師：真的？小魚向上平移呢？向右上方平移呢？（媒體演示）

生：也是。

師：看來(lái)平移可以得到平行線。

3，畫直線。的平行線，想想可以畫出幾條平行線

師：你是怎么畫的？

生：把直線a平移過(guò)去，只要在豎的線上都可以，可以畫很多條。（媒體畫直線6）

師：直線6動(dòng)起來(lái)了（媒體演示直線b向a平移靠攏），還是平行嗎？

生：是的，雖然不到一格，但距離都一樣。

師：（繼續(xù)靠攏，直到重合）現(xiàn)在呢？

生1：看不見了，重疊了。

生2：現(xiàn)在有很多個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)該是無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)了。

師：這種情況是相交嗎？是平行嗎？

生：都不是，相交只有1個(gè)交點(diǎn)，平行沒有交點(diǎn)，這里有無(wú)數(shù)的交點(diǎn)。

師：是的，像這樣的兩條直線有無(wú)數(shù)的交點(diǎn)，我們可以說(shuō)他們重合。

師：現(xiàn)在我們一起來(lái)整理一下，同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有哪些情況？

動(dòng)態(tài)的平移激活了學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)平移能得到平行線，為下一步習(xí)得畫平行線技能做好鋪墊。之后在動(dòng)態(tài)移動(dòng)直線的運(yùn)動(dòng)中，學(xué)生能清晰地發(fā)現(xiàn)重合這一種特殊的位置關(guān)系，再創(chuàng)設(shè)活動(dòng)讓學(xué)生按照交點(diǎn)的個(gè)數(shù)對(duì)位置關(guān)系進(jìn)行梳理，在交流中進(jìn)一步清晰各種概念，把直線的運(yùn)動(dòng)方式與位置關(guān)系有機(jī)結(jié)合，有助于形成整體而清晰的知識(shí)體系。

概念教學(xué)的價(jià)值就是讓學(xué)生經(jīng)歷豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，通過(guò)不斷地質(zhì)疑辨析，不但把握概念顯性的表象，還能透過(guò)現(xiàn)象抓住概念的內(nèi)在特性，從而發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升各種能力。在這個(gè)過(guò)程中，需要教師研究上位的數(shù)學(xué)知識(shí)，關(guān)注師生之間的教學(xué)困惑，并積極發(fā)揮教師的能動(dòng)性與創(chuàng)造性，發(fā)掘合適和高效使用兩者之間耦合的信息載體（學(xué)習(xí)材料），提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值。