培養數形結合思想 提高數學解題能力

摘 要：數學學科不同于其他的課程，數學知識之間的邏輯性較強，前后知識的聯系較為緊密，而且靈活多變，所以對于高中生的數學解題能力提出了更高的要求。高中數學知識中設計很多等式和不等式的問題，采用數學結合的方法進行解題，有助于將抽象的題目形象化，提高解題效率，開拓學生的解題思路。所以，培養高中學生數形結合的解題思維，是高中數學教學過程中的一個重要目標。

關鍵詞：數形結合；高中數學；解題能力

高中數學的難度相比較學生以往學習的數學知識難度和復雜度都有一定提升，學生在解題的過程中，僅靠數值計算或是空間想象，解題的效率較低。所以，數形結合的解題方法可以很好地輔助學生解答抽象數學的應用題，開拓學生的解題思路。下面我將結合我多年的高中數學教學經驗，來談談對于培養高中生數形結合思維能力的幾點看法。

一、 正確理解數形結合

“數形結合”，顧名思義，就是數字與圖形相結合的思想，數指的是高中數學中的數值，形指的是空間上的圖形或曲線等。學生在學習高中數學的過程中很容易發現，解答的許多應用題或是空間幾何題目，是需要數形結合來解答的。

例如：在學習“集合與函數概念”這一課時，會涉及交集、并集、空集等幾何的概念，因為集合的文字表述較為抽象，高中教師就可以通過圖形示意圖的形式來表示。比如，集合A和集合B的交集，數學教師就可以畫出兩個圓圈，兩個圓圈重合在一起的部分表示兩個集合的交集。通過圖形表示的形式，學生理解起來更容易，對交集概念的理解也更加深刻。

二、 合理使用數形結合思想

學會在對數形結合的解題方法有了正確的認識之后，還要通過具體的練習掌握數值轉換為圖形，以及圖形轉換為數值的方法。學生在解答一些比較抽象的數學題目以及一些難度較大的代數問題時，可以轉換解題思路，將數值表示轉換為圖形表示。圖形較為直觀，很多從數值中無法找到的解題關鍵點，可以從圖形上一目了然地發現。

例如：在學習“函數與方程”時，很多情況下需要學生求解方程的零點個數以及相應的零點值。比如一元二次方程，學生可以通過畫圖形的方式，畫出曲線與坐標軸的交點，以便更直觀地看出方程零點的個數。對于求解方程組的題目，學會可以將幾個方程轉換成相應的曲線表示，分別畫在同一個坐標系中，通過觀察曲線之間交點的個數，可以判斷方程組解的情況。比如方程組中含有兩個方程，如果兩條曲線沒有交點，則該方程組無解，若兩條曲線有一個交點，則方程組存在一個解，以此類推。將數值轉換成圖形的形式來解答，簡單直觀，便于理解。

圖形雖然表現形式較為直觀，但是只能對問題定性的判斷，不能完成準確地計算。所以，在需要求解精確數值的情況下，需要將圖形轉換成數值并加以計算。例如：在學習“直線與方程”，“圓與方程”的數學知識時，題目中可能會先給出直線與點的位置關系坐標圖，讓學生求解點到直線的距離，這時，如果通過對圖形進行測量的方法是無法精確得出點到直線的距離的，需要學生利用點到直線的距離公式，將直線方程和點的坐標代入到公式中求解。

由此可見，數值與圖形的正確轉換，可以輔助學生完成對定性問題的判斷和定量問題的計算，對學生順利解答題目起到重要作用。

三、 綜合應用數形結合的方法

將數值轉換成圖形，將圖形轉換成數值是雙向的過程，學生在應用數形結合思想解題的過程中不能將其割裂開，否則將大大限制數形結合思想的應用。因此，在學生掌握了將數值轉換成圖形和將圖形轉換成數值的基礎上，高中數學教師要加強對學生數形結合思想的綜合能力的培養，實現對復雜數學問題的順利求解。

例如：在學習一次函數和二次函數時，學生經常會遇到如下題型。“已知一條直線方程y=kx+3，一條雙曲線x2-y2=2，如果直線與雙曲線存在兩個交點，請討論斜率k需要滿足怎樣的條件？”學生在解答該題時，可以先將抽象的方程形式轉換成圖形的形式，先畫出確定的雙曲線圖形，然后在畫出直線與雙曲線存在兩個交點時，具有代表性的幾條直線圖形。學生通過圖形大致可以知道直線的斜率在變化的過程中，直線與雙曲線的交點個數情況，學生在對臨界情況進行具體的數值求解，將圖形轉換成數值。最終確定直線斜率k的取值范圍。該類數學題目綜合性較強，需要學生充分考慮到多種圖形之間的位置關系，如果僅憑學生在腦海里的現象，很容易將一些情況遺漏，造成答題的不完整。由此體現出將數值問題轉換成圖形表示的重要性。如果只通過圖形判斷，學生無法得到精確的直線斜率值，所以還需要將圖形問題再次轉換成數值計算問題，數形的靈活轉換是順利解答該類問題的關鍵。

四、 數形轉換中的注意事項

解答數學題目不僅需要學生掌握扎實的數學知識，還需要學生要有足夠的細心，才能保證數學題目的正確解答。學生在進行數形轉換的過程中，一定要保證轉換的準確性。例如：

求解“y=2x與y=x2-2x+1的交點”時，學生需要先將方程轉換成圖形曲線，定性判斷交點都個數，然后在定量計算。如果學生把“y=2x”轉換成圖形的過程中，將斜率“2”看成了“-2”，那么得到的曲線交點的情況與正確的答案大相徑庭，導致最后計算的結果也是錯誤的。因此，學生在利用數形結合思想進行數形互換的過程中，一定要保證轉換的正確性，這樣才能充分體現數形結合思想的優勢，否則將會事倍功半。

總之，培養學生數形結合的思想，需要學生在實際的練習中逐漸形成數形互換的能力，以提高學生對于復雜數學問題的解題能力。

參考文獻：

[1]蔡邢.培養數形結合思想，提高數學解題能力[J].理科考試研究，2013，20（21）.

[2]曾廣平.活用數形結合思想提高數學解題能力[J].讀與寫旬刊，2011，08（8）.

[3]黃忠武.巧用數形結合思想提高數學解題能力[J].甘肅教育，2013（6）.

作者簡介：

況銀環，江西省宜春市，江西省高安中學。