把握方程本質(zhì)，致力思維發(fā)展

王薇

摘 要：方程是從現(xiàn)實(shí)生活到數(shù)學(xué)的一個(gè)提煉過程，教學(xué)中應(yīng)根據(jù)方程的本質(zhì)屬性，把握方程思想，使學(xué)生學(xué)會(huì)用代數(shù)方法解決實(shí)際問題，并發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；方程教學(xué)；本質(zhì)；思維

方程是用數(shù)學(xué)知識(shí)從現(xiàn)實(shí)生活提煉數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程，是一個(gè)用數(shù)學(xué)關(guān)系表現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活中的特定關(guān)系的過程，也是學(xué)生由算術(shù)思維邁向代數(shù)思維的新起點(diǎn)。關(guān)于方程的教學(xué)，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材從第二學(xué)段開始出現(xiàn)：五年級(jí)下冊(cè)教學(xué)方程的內(nèi)容包括方程的意義、解方程、列方程解實(shí)際問題等；六年級(jí)下冊(cè)教學(xué)內(nèi)容則包括列方程解決稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題等。無論是認(rèn)識(shí)方程，還是尋找數(shù)量間的等量關(guān)系，小學(xué)生都會(huì)感覺到其中的高度抽象性。這些難點(diǎn)導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)方程時(shí)從心理到認(rèn)知都出現(xiàn)了諸多問題。教學(xué)中如何根據(jù)方程的本質(zhì)屬性，把握方程思想，使學(xué)生學(xué)會(huì)用代數(shù)方法解決實(shí)際問題，并發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維呢？筆者進(jìn)行了如下思考與嘗試。

一、方程教學(xué)中常見的問題

1. 列方程解決問題的心理排斥

五年級(jí)下冊(cè)的方程教學(xué)中，在進(jìn)行“認(rèn)識(shí)方程”這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生比較感興趣。但在后來的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不太喜歡用方程解決問題。原因有兩點(diǎn)，其一，用方程解決問題稍顯煩瑣，用學(xué)生的話來說“要解設(shè)，多寫好多字”；其二，學(xué)生習(xí)慣了用算術(shù)思維解決問題，由已知到未知，已形成一定的程序思維的模式，一時(shí)難以將未知與已知一并納入問題進(jìn)行分析。

2. 慣用算術(shù)思維解方程

有一點(diǎn)可以肯定的是，小學(xué)階段的方程的學(xué)習(xí)，其用方程解答的依據(jù)往往是四則運(yùn)算，與此同時(shí)，課程標(biāo)準(zhǔn)也強(qiáng)調(diào)“等式性質(zhì)”的運(yùn)用，并以此為基礎(chǔ)導(dǎo)出解方程的方法。受傳統(tǒng)思想的影響，有些教師不能把握教材意圖，加上運(yùn)用四則運(yùn)算各部分關(guān)系的思路是學(xué)生已有的知識(shí)，易于理解，由此導(dǎo)致這樣的學(xué)習(xí)不利于小初銜接，學(xué)生也不容易形成代數(shù)思維。

3. 難以從信息中提取等量關(guān)系

“列方程解決問題，先讓學(xué)生用自然語言闡述要解決的問題，然后抽象成數(shù)學(xué)語言，最后用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程并解決問題，這是建模的全過程。”受思維習(xí)慣對(duì)數(shù)量關(guān)系分析能力的影響，學(xué)生難以從錯(cuò)綜復(fù)雜的情境中抽象出本質(zhì)，描述或找出其中蘊(yùn)含的等量關(guān)系。小學(xué)高年級(jí)的兒童思維以形象思維為主，同時(shí)也有部分的抽象思維，正處于兩者過渡的階段，因此，教學(xué)中可以嘗試將思維的對(duì)象從數(shù)值轉(zhuǎn)向符號(hào)，并將未知數(shù)與已知數(shù)一起參與運(yùn)算。當(dāng)然，學(xué)生大多難以適應(yīng)，即使有部分學(xué)生能將其抽象成數(shù)學(xué)語言，也易出現(xiàn)與自然語言表達(dá)不相符的情況。如：寫出“客車行駛路程+貨車行駛路程=總路程”這樣的數(shù)量關(guān)系，列出的方程卻是420-60x=80，用的是“總路程-客車行駛路程=貨車行駛路程”這樣的數(shù)量關(guān)系；或列出的是形如420÷（60+80）=x這樣的等式。

基于以上問題，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷適當(dāng)?shù)挠删唧w到抽象的建模過程，將方程的本質(zhì)屬性抽象出來，建構(gòu)完整、清晰的方程思想。

二、關(guān)于方程本質(zhì)屬性的思考

1. 指向問題解決的等式

張奠宙教授認(rèn)為：“方程的本質(zhì)是為了求未知數(shù)而在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的一種等式關(guān)系。”小學(xué)教材中這樣定義方程：“含有未知數(shù)的等式叫作方程。”所以出現(xiàn)了x=1，420÷（60+80）=x這樣的式子。方程的本質(zhì)是為了求未知數(shù)，它的指向是求出未知數(shù)解決問題。教學(xué)中不僅要讓學(xué)生感知方程的結(jié)構(gòu)，即左右兩邊用等號(hào)連接含有未知數(shù)的等式，更要讓學(xué)生感知方程是為了解決問題而建立的。正如張教授所說：“如果x=1，未知數(shù)已經(jīng)求出來了，也就沒有方程的問題了。”那么，形如420÷（60+80）=x這樣的等式也就不能承擔(dān)方程的“重任”了。

2. 聯(lián)立兩件相互等價(jià)的事情

小學(xué)四則運(yùn)算與方程有著本質(zhì)的區(qū)別，前者僅僅提供一種算法，最終目的是指向運(yùn)算結(jié)果，而后者則“比較全面地展示了建模思想——用等號(hào)將相互等價(jià)的兩件事情聯(lián)立。等號(hào)的左右兩邊等價(jià)，至于其中的關(guān)系是用自然語言表示的，還是用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)的，都不太重要，重要的是等號(hào)左右兩邊的兩件事情在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。”（史寧中語）在教學(xué)中，教師應(yīng)充分利用教學(xué)情境、教具（如天平），或兒童自身的生活經(jīng)驗(yàn)，幫助建立起“方程只是在說明兩件事情是等價(jià)的”這樣的數(shù)學(xué)模型。

3. 未知數(shù)與已知數(shù)同樣參與運(yùn)算

張奠宙教授認(rèn)為：“在方程中，已知和未知借助等號(hào)聯(lián)立以后，未知可以和已知一樣參與運(yùn)算，享有同樣的地位。”這是方程特有的屬性。由于四則運(yùn)算指向結(jié)果的思維，導(dǎo)致兒童難以適應(yīng)未知數(shù)參與運(yùn)算的現(xiàn)象。《新課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程。”因此，學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)并以它反映方程的本質(zhì)，讓學(xué)生習(xí)慣將未知數(shù)與已知數(shù)進(jìn)行同一視角的判斷，這樣便能體現(xiàn)代數(shù)方法的作用，也能更好地與后面的學(xué)習(xí)產(chǎn)生銜接。