“全景式教育”數學課

文 張宏偉（北京亦莊實驗小學）

“對稱”的學習

“對稱”一般在3月底開始學習，但是在寒假，我就對孩子進行浪漫階段的體驗和準備。孩子們在假期當中就干三件事情：搜索什么是對稱，可以上網、到圖書館和博物館；搜索對稱有哪幾種情況；找到相應的圖片、實物或現象，能帶來實物的就帶來實物，不能帶來實物的就拍照片或者下載圖片。

到了3月底開課，我問孩子們：“在寒假，大家利用周末的時間對對稱進行了研究，那么從對稱的角度來看世間的萬事萬物，你能把它分成哪幾類？”

學生說分成兩類，一類是不對稱的，一類是對稱的。我追問，那對稱的你找到了哪些？孩子拿來了蝴蝶，展示左右對直重合，上下對直重合，這叫軸對稱；第二個孩子拿來了花的實物模型，“老師，像這樣的花瓣，你轉半圈之后就重合，這叫中心對稱”。第三個孩子拿來一張小狗照鏡子的圖片，說這叫鏡面對稱。

我們教材上為什么只學中心對稱和軸對稱？因為軸對稱和中心對稱是初中和高中之后，學習幾何證明題必須使用的工具。鏡面對稱雖然不考，但是它是孩子認知世界的一個重要的工具——這個世界大量存在鏡面對稱。

元代詩人楊敬德的《臨湖亭》說：“魚在山中游，花從天上開。”我問學生，魚為什么會在山中游泳啊？這不是胡說嗎？學生說是倒影，這首詩就不講自明。

元好問的《泛舟大明湖》有一句話：“看山水底山更佳，一堆蒼煙收不起。”我問孩子，為什么說看山水底山更佳？我備課時預想的是因為朦朧美。結果沒有一個孩子說出這個答案，他們告訴我，因為水里的山是“活”的，會隨著水波一動一動，而地上的山是“死”的。哎喲，這非常觸動我，你可以發現，這是鏡面對稱帶給孩子看世界、看語文的別樣視角。

我們再接著往下看。第四個孩子走上講臺，把海星的照片（圖1）往上一拍，說這是輻射對稱。我相信不少人是第一次知道這個對稱。

◎圖1

◎圖2

然后又有孩子拿來了這張圖（圖2），每個人都應該見過，你知道它是什么對稱嗎？

當孩子拿著這張電風扇的照片來告訴我這是旋轉對稱時，我百感交集。我當時44歲，那一刻才真正明白了以前學過的所謂的中心對稱，只不過是旋轉對稱的一種特殊情況而已。那一次我真正認識到每一個孩子都是老師，每一個孩子也都是課程的建設者。

還有一個孩子，拿來了四葉草的圖片，他非常興奮地給我介紹：四葉草上下對折是重合，左右對折是重合，它是軸對稱；四葉草也能轉一圈重合，它是中心對稱；然后二年級學過直角，每轉一個直角，都能重合，所以它也是旋轉對稱，數學家就給它取了一個名字：復合對稱。

孩子從百度上直接就搜來了對稱的含義：物體或者圖形在某種折疊條件下，其相同部分之間有規律的重復現象。不用老師講一句話，所有的孩子就明白了，軸對稱只是其中的一種。隨后，我才有這句話：“孩子們，小學我們主要學習軸對稱，到了初中我們研究中心對稱，等你長大了，到大學，會根據你的需要再研究其他對稱。”

大家會發現，在課前調查的基礎上，我們的孩子在課堂上花了不到10分鐘的時間，就能用相對完整的對稱眼光去看待對稱本身和世間萬物，但是沒有經歷過這個課程的孩子，如果在海邊撿了一顆海星，問他這是對稱的嗎，他可能會斬釘截鐵地告訴你，它不是。我覺得可怕的不是他認為海星不是對稱的，而是他背后的那種堅定。

可能也有人質疑：世間萬物多得去了，一個人窮盡畢生也不可能知道所有的東西，不知道輻射對稱有什么了不起的？是的，不知道也沒有妨礙大家成為優秀的校長、老師、家長，但美國詩人惠特曼說：一個孩子每天向前走去，他看見最初的東西，他就變成了那東西，那東西就變成了他的一部分。可見，經歷的路是完整的，對我們的成長是多么重要。

為了數學本身的完整性，更為了完整孩子的數學成長，我引進了必須的，淺顯易懂的，能夠直觀認識和了解的，又便于學生動手操作的，而且新奇、有趣、好玩的羅氏集合、黎曼幾何、拓撲（圖論）和分形等內容。

“曲面”的理解

“曲面”這個概念，無論在哪種版本的數學教材里，都一定是在孩子年滿12周歲，六年級下學期才會出現，曲線則是五年級學習圓的時候出現。但孩子從出生的那一天，一睜開眼看到的媽媽的臉其實就是一個曲面。我也曾做過調研，一年級有五分之一的孩子能準確地認出曲線，所以實際上孩子早就從別的圖畫書或者非數學書上學到了標準的數學概念。

因此，我在三年級一學“面”就問孩子：這世界萬物的表面，你把它分成哪兩類？孩子說一類是平的，一類是不平的。緊接著我就說平的就叫平面，不平的就叫曲面，孩子一下子就理解了。然后我用紙張來演示平面和曲面互相轉化。我們班有一個孩子還打了一個比方：張老師，你的屁股就是一個曲面，但是你坐在那個木椅子上，一壓，它就變成一個平面！全班哄堂大笑。我說你這個比方太棒了，然后我就拿椅子過來演示，椅子上一壓，學生說平面，一站起來，學生說彈回來了，又變成了一個曲面！大家樂得不行。

◎關于直角的組圖

正是因為提前引進了“曲面”這個概念，我們還生出了另外一種精彩。學習三年級平面圖長方形和正方形的時候，我引進了曲面的長方形和正方形。

周末布置作業，我提前跟家長溝通，剪六個正方形和六個長方形，做沙包。往里面灌沙子，一直灌到一顆也不能灌了為止，變成一個球形的沙包。

孩子的任務是做檢驗工，拿個直角三角板去對著這邊，再看另外一條邊跑哪里去了。周末一個學生給我打電話：“張老師，好奇怪呀，直角這個邊怎么跑到直角三角板的外面去了？”他驚奇地發現，原來球面上的正方形的角度已經大于了90度。

然后我又放出了下面這組圖片，球面上的是120度，平面上是90度。

這其實就是在做一個浪漫準備。我們也不繼續學了，孩子知道就行了。我讓孩子翻開課本，看看課本上關于正方形的定義：正方形的四條邊長度相等，四個角都是直角。我說這句話有毛病嗎？學生說有，曲面上就不是這樣了。那怎么改呢？學生說，它應該寫上“平面上的正方形它的四條邊長度相等，四個角才是直角。”

讓孩子多一個看數學和看世界的角度，收獲更多的驚喜，積累更多的經驗，我想這遠比掌握了什么是長方形和正方形更重要。