一道數(shù)學錯題里的思維奔流

文 李保偉（浙江麗水市文元集團文元小學）

一次，我布置的家庭作業(yè)中有一道這樣的題：求以5為軸的旋轉體的體積。如下圖：

這道題應該在孩子們的知識范圍內，但沒想到在批改作業(yè)時還是發(fā)現(xiàn)有一小部分孩子做錯了。孩子們錯誤的原因并不是不懂得怎么求體積，而是誤讀了題目，沒能很好地理解“以5為軸”。他們受圖的影響，條件反射地將“5”當成旋轉體（圓錐）的半徑來計算了。

為此，我便就這道題進行了評講。通過操作演示，讓學生理解“以5為軸”表示“5”是旋轉體的高，“4”是旋轉體的底面半徑。

孩子都理解后，我隨機拋出了一個問題：那些做錯了的同學所列的式子其實是表示以誰為軸的旋轉體體積？孩子們馬上明白了，這個直角三角形既可以“5”為軸旋轉，也可以以“4”為軸旋轉，從而得到不同的旋轉體（圓錐）。

“老師，可否以這個直角三角形的斜邊為軸旋轉？”一向思維敏捷的梓洋提出了自己的新思考。

我心中一陣竊喜，順勢說道：“如果以這個直角三角形的斜邊為軸旋轉一周后的旋轉體是怎樣的呢？請同學們和同桌討論一下，并畫出來哦。”

當孩子畫出了這個旋轉體的幾何圖后，大家紛紛在思考如何求它的體積。孩子發(fā)現(xiàn)這個旋轉體其實是由兩個等底但不等高的大小不一的圓錐組成的。而要求圓錐的體積，需要知道高和底面半徑等條件。可是，這些直接的條件好像都沒有。

在靜靜地思考與等待中，有個參加過思維輔導班的孩子說，要先求出這個直角三角形的斜線，需要用到勾股定理。這時，我又順勢說這是個不錯的建議，但直角邊用“4”和“5”似乎不妥，干脆改為“3”和“4”，這樣就清楚地知道了斜邊應該是“5”。如下圖：

根據(jù)三角形已有的條件又可以求出斜邊5所對應的高是2.4，而2.4同時也是旋轉體的半徑。如下圖：

孩子們通過畫圖發(fā)現(xiàn)：2.4同時也是旋轉體的半徑（也就是上下兩個圓錐體共同的半徑）。現(xiàn)在半徑知道了是2.4，可上下兩個圓錐各自的高還不知道，還好我們知道兩個圓錐高的和是5。

在靜靜地思索中，有個孩子提出了自己的解題思路：先假設兩個圓錐的高分別為h1、h2，并列式如下：

這個式子一出來，孩子們恍然大悟，這樣的兩個等底不同高的圓錐組合體體積其實就是底面積×兩個圓錐的高之和×1/3，也就是說還可以把這組合體轉化成高為5、底面半徑為2.4的圓錐。

于是，大家便很快地列出了新的算式：

既然可以將兩個等底的圓錐的高看成一個圓錐的高之和，那么如果求兩個等底等高的圓錐和圓柱組合體，我們可否從多個角度去看去用多種方法求呢？

這道題至此也就告一段落了。

風起山東，演繹美

應北京師范大學老教授協(xié)會之邀，我去山東淄博參加了“中國教育夢——思維導圖融入學科教學實踐分享會”，并在活動中執(zhí)教一節(jié)思維導圖應用于數(shù)學教學的示范課。

當時我報給主辦方的是一節(jié)六年級的分數(shù)復習課“五分之四的聯(lián)想”，之前在全國各地上過幾次，反響還是不錯的。只是到活動前兩天，我才了解到淄博使用的青島版教材是“五四”制的，小學只有五年級，我之前報的課題是六年級的內容——這就意味著我必須換課題了。

可時間這么緊迫，怎么辦？這時我萌發(fā)了把“直角三角形”的“轉”這道題用思維導圖串起來設計成一節(jié)課去試試的想法。于是，再次修改之前的“思維導圖”。這次調整把原來設想的“直角三角形”的“移”改為了思考兩塊“直角三角形”怎么“旋轉”的問題。由于忙著制作教具和課件，再說學校的六年級只有自己教的兩個班，所以重新調整后的設計也沒有去試教。從某種意義上說，在山東淄博，我上的這節(jié)課是一節(jié)“裸課”。

我就是按這幅重新設計的思維導圖的結構圓滿完成了整節(jié)課的教學。現(xiàn)場的聽課老師反響很大，紛紛說：沒想到課還可以這么設計這么上。而這一切都是虧了“思維導圖”這種結構化、發(fā)散性的思維工具。

不斷挖掘，創(chuàng)造美

山東上完課回校后，我不斷在沉思著：這節(jié)課只能這樣設計嗎？本課后半段設計有沒有更好的調整策略？

當與同事辛鋒老師交流時，他一語給了我靈感：可不可以思考繞某個頂點水平旋轉一周？

真好！于是，我?guī)е@樣的思路來檢驗孩子們，沒想到兩個班的孩子在我的啟發(fā)下很快就想到了這種旋轉方式，不但迅速畫出了分別繞頂點A、B、C的三種旋轉體的幾何圖，而且還知道計算出他們體積的思路。

于是，我和孩子再一次回顧新的設計，發(fā)現(xiàn)是從“沿邊旋轉”和“繞點旋轉”兩種情況來思考三角形的旋轉體的。于是便將原來只是考慮“沿邊旋轉”的三條分支概括為“沿邊轉”，去掉了“兩個直角三角形”的旋轉情況，加入“繞點旋轉”的三種情況。于是，整個設計調整為“沿邊轉”和“繞點轉”這兩條大分支。

這樣的設計把一個“直角三角形”的旋轉挖掘得更加充分了。正當我和孩子們“思”得其樂、樂在“思”中時，一個孩子提出了他的想法：既然直角三角形可以用“轉”形成這么多種旋轉體，那長方形、正方形等平面圖形可不可以用“轉”得到旋轉體呢？于是，我們又開始了“轉”的思維導圖研究。且看孩子們的作品吧。

這個孩子想到長方形、直角三角形、直角梯形、正方形的不同旋轉所得到的旋轉體。見下圖：

這又是兩個學霸級人物，自主按“三角形”“直角梯形”“四邊形（再分平行四邊形、長方形、正方形）”“圓”來進行不同情況的旋轉想象，不僅能畫出幾何圖，還能嘗試計算。見下圖：

“轉”出門道，放飛美

想象力沒有天花板，這個孩子的空間想象力已經(jīng)完成超越了小學的水平了。見下圖：

當孩子們用“轉”為主題的思維導圖來概括有關圓柱和圓錐的知識后，似乎著了魔似的。六（2）班的孩子紛紛問我：李老師，還有什么主題的思維導圖可以畫？我反問他們一句：你們覺得呢？那就以“切”為主題畫一幅有關圓柱圓錐的思維導圖吧。見下圖：

當孩子們把思維導圖交上來，我進行點評時，有些孩子的思維又一次被拔節(jié)，覺得可以把“削”也融入“切”進去。我靈機一動：如果要考慮切和削，這都和什么有關？都和“刀”有關。所以，在六（1）班，我們便改成以“刀”為主題的思維導圖了。見下圖：

通過一系列的推演和深化，當初家庭作業(yè)中的一個小小的誤讀，演化出無限的數(shù)學之美。對于我來說，培養(yǎng)孩子們獨立思考和邏輯推演的能力，遠勝過單純傳授一個知識點。數(shù)學之美，美在邏輯、美在系統(tǒng)化、美在思考、美在理性。很高興孩子在這么小就能通過這樣一個小小的課題去探索無限的數(shù)學之美。

在這個過程中，思維導圖是一個有效思維圖形工具，運用圖文并重的技巧，開啟大腦的無限潛能。思維導圖以放射性思考模式為基礎的收放自如方式，除了提供一個正確而快速的學習方法與工具外，還可以成倍地提高學習知識速度和效率，幫助孩子們更快地學習新知識與復習整合舊知識。希望孩子們在今后的學習中，也可以維持這樣的探索精神，勇敢地去探索數(shù)學的形與美。