因“錯”追根溯源

張軍俠

摘 要：通過對具體行程類函數問題的分析，探尋解決問題的策略，在探究中糾錯，知其然，知其所以然，感受數形結合思想，凸顯圖象的作用，提高思維高度，積累解決此類問題的通性通法，內化為能力.

關鍵詞：問題引領；糾錯；初中數學

一、試題呈現

一巡邏艇從A碼頭勻速駛往B碼頭，接著再勻速駛往A碼頭，如圖1是該巡邏艇離開A碼頭航行過程中與A碼頭的距離s1（千米）與航行的時間t（小時）的函數圖象.當巡邏艇從A碼頭出發時，在其前方20千米處有一游輪以每小時20千米的速度勻速駛向終點B碼頭.

（1）寫出該游輪與A碼頭的距離s2（千米）和它航行的時間t（小時）之間的函數關系式，并在圖中的平面直角坐標系中畫出該函數圖象.

（2）求巡邏艇航行過程中與游輪相遇的時間.

（3）求游輪到達B碼頭時與巡邏艇之間的距離.

二、問題引領

1.有效解讀信息，還原情境

（1）橫軸、縱軸各表示什么實際意義？

（2）圖象呈分段態勢，巡邏艇是如何航行的？（讓學生用自己的語言來描述）

（3）能用線段示意圖給予解釋嗎？0～3小時的示意圖，3～7小時的示意圖.

（4）圖象中的兩條線段分別對應了巡邏艇的哪段航行過程？

（5）圖中的起點、拐點代表了什么意義？

（6）有關游輪的航行過程，要抓它的起點和終點，起點坐標是什么？

（7）這里的時間以巡邏艇為標準，思考當巡邏艇在A碼頭時，游輪在什么位置？

（8）按每小時20千米的速度前行，何時可以到達B碼頭，

（9）表示游輪的終點位置，縱坐標是多少？橫坐標是多少？

（10）如何在平面直角坐標系中畫出該函數圖象.

問題能引導學生將文字語言翻譯為直觀圖形，同時捕捉到A碼頭到B碼頭的距離、巡邏艇從A碼頭到B碼頭的速度以及巡邏艇從B碼頭到A碼頭的速度.通過這幾個問題串的設計引領，將“形”的問題轉換為有關“數”的問題.

2.展示典型錯誤，剖析錯因

（1）起點錯誤，將圖象畫成一條直線.

畫完游輪的圖象后，發現與原圖象有兩個交點，那交點表示的意義是什么？能否求出交點坐標，將問題轉化為兩個一元一次方程問題，再結合線段示意圖解釋：為什么會有兩種情形？這與小學所學的線段示意圖相吻合.而凸顯出圖象的直觀性，避免漏解的情形.

（2）少考慮巡邏艇返回時與游輪相遇的情形.

求游輪到達B碼頭時與巡邏艇之間的距離.借助圖象如何解釋？

即圖中2MN的長度，如何轉化這一問題，即游輪到達B碼頭的時間對應的巡邏艇與B碼頭的距離，而s1表示該巡邏艇離開A碼頭航行過程中與A碼頭的距離，所以還需用120-60=60.

（3）將巡邏艇所行的路程與巡邏艇與碼頭的距離兩者混淆.

此60非彼60.在落入誤區和走出誤區的過程中，吃一塹長一智，思維的嚴謹性得到鍛煉，繼續追問：比對正確答案，你知道錯誤的地方嗎？錯誤的原因能尋找出來嗎？能將它訂正嗎？在反復的追問、逼問下，答案水落石出，這樣可以暴露學生思維的薄弱環節，又能使學生深刻地認識到錯誤所在，有利于自診自治，提高對錯誤的免疫力.

3.利用函數圖象學會提出問題

圖象清晰地刻畫了巡邏艇和游輪的航行過程，但學生不能很好地結合圖象、函數關系式以及方程等有機地解決這一問題.為了培養學生的讀圖能力，根據題目設置變式：當t=______（h）時，巡邏艇與游輪相距10 km.

此時，學生不再是盲目地計算，而是通過圖象幫助理解題意，數形結合，觀其勢，會其意，交點的前后分別表示了兩者之間的距離，思路盡在其中，學生不再云里霧里，而是云開霧散，再見彩虹，有種豁然開朗的感覺.

三、教學啟示

優質的數學課堂結構不僅要關注知識，還要關注思維以及學生的生命成長.課堂中，不僅注重數學知識發生、發展的過程，而且注重數形結合、轉化的思想，還關注學生生命的成長.最大限度地利用學生錯誤，在碰撞中激發思維的火花，給學生的學習增添了樂趣，給學生帶來了真實的體驗，個性和自信心得到發展。

數學家波利亞說過：錯誤往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素，發現的方法就是試錯的方法。在講題教學中，教師要引導學生把錯誤當作寶貴的學習資源，充分調動學生求知、求思的積極性和主動性；在互動中探究錯誤原因，提煉共性；指導學生學會反思錯誤，從中得出學習方法.

參考文獻：

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