淺談核心素養(yǎng)導(dǎo)向下“曲邊梯形的面積”的教學(xué)

甄榮

隨著課程改革的不斷深入，學(xué)生核心素養(yǎng)的培育越來越為人們所關(guān)注。提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的發(fā)展去向。提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的、動(dòng)態(tài)的、循序漸進(jìn)的過程，不是一蹴而就的。作為高中一線教師，我們必須認(rèn)真思考如何基于核心素養(yǎng)來設(shè)計(jì)和實(shí)施數(shù)學(xué)課程，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以及學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的自覺性。本文以《曲邊梯形的面積》為例，從提升學(xué)生分析力、增強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)造力、提升學(xué)生思考力、增強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐力等方面闡述了對(duì)核心素養(yǎng)視角下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一些思考。

創(chuàng)設(shè)問題情境，提升學(xué)生的分析能力

一個(gè)好的問題情境可以開啟學(xué)生對(duì)新問題的研究，促使其用數(shù)學(xué)眼光觀察情境、用數(shù)學(xué)思維分析問題。《曲邊梯形的面積》一課可以設(shè)計(jì)如下問題情境：小方塊狀的瓷磚為什么能貼出拱形建筑？讓學(xué)生直觀感受“曲”與“直”的矛盾，感悟數(shù)學(xué)具有現(xiàn)實(shí)的性質(zhì)，促使學(xué)生思考，為后續(xù)教學(xué)中“以直代曲”思想的形成做好鋪墊。

注重?cái)?shù)學(xué)歷史，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)造能力

陳玉嬋在《如何讓數(shù)學(xué)文化在中學(xué)課堂中綻放魅力》一文中提到“科學(xué)只能給我們知識(shí)，而歷史卻能給我們智慧”，讓學(xué)生了解知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展歷程，可以拓寬學(xué)生的視野。在此基礎(chǔ)上學(xué)生可以進(jìn)行合理的借鑒和創(chuàng)新，建構(gòu)新知，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。

《曲邊梯形的面積》一課中設(shè)計(jì)了這樣的數(shù)學(xué)史內(nèi)容：一是，劉徽以極限思想為指導(dǎo)，提出用“割圓術(shù)”來求圓周率，既大膽創(chuàng)新，又嚴(yán)密論證，從而為圓周率的計(jì)算指出了一條科學(xué)的道路。

二是，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德通過計(jì)算邊數(shù)倍增的圓外切和內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)來求圓周率的近似值，阿基米德用到了迭代算法和兩側(cè)數(shù)值逼近的概念，稱得上是“計(jì)算數(shù)學(xué)”的鼻祖。

講割圓術(shù)，讓學(xué)生初步體會(huì)“以直代曲”和“逼近”的思想。介紹圓內(nèi)接和外切正多邊形逼近圓的過程，為后面提出“不足近似”和“過剩近似”埋下伏筆。

立足學(xué)生思維，提升學(xué)生的思考能力

教師要站在高觀點(diǎn)下進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，關(guān)注學(xué)生思維發(fā)展的特征，激發(fā)學(xué)生認(rèn)知上的不平衡，把數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)活動(dòng)不斷引向深入，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法和視角分析問題，解決問題，切實(shí)提高其思考能力。

《曲邊梯形的面積》一課為了幫助學(xué)生建立解決曲邊梯形面積問題的基本經(jīng)驗(yàn)，先考慮一個(gè)特殊的問題：如何求由拋物線，直線，所圍成的平面圖形的面積？

針對(duì)這個(gè)特例，設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)問題：

問題1 ：你打算怎樣計(jì)算這個(gè)曲邊圖形的面積？具體怎樣操作？（分割）

問題2 ：每個(gè)小曲邊梯形的面積如何計(jì)算，能用什么圖形代替？（以直代曲、近似代替）

問題3 ：如何得到整個(gè)曲邊三角形面積的近似值？（求和）

問題4 ：直邊圖形的面積怎樣才能越來越接近曲邊三角形面積的準(zhǔn)確值？能否得到準(zhǔn)確值？（取極限）

問題5： 用每個(gè)小區(qū)間的右端點(diǎn)的函數(shù)值作為近似值計(jì)算曲邊三角形的面積，結(jié)果是否一樣？（“不足近似”和“過剩近似”）

問題6 ：用每個(gè)小區(qū)間的左、右端點(diǎn)的函數(shù)值作為近似值計(jì)算曲邊三角形面積得到的結(jié)果相同，如果用每個(gè)小區(qū)間任意一點(diǎn)處的函數(shù)值作近似代替，是否也可以求出曲邊三角形的面積，結(jié)果是否一樣？（“左右夾逼”，合情推理與演繹推理）

問題7 ：回顧求這個(gè)曲邊三角形面積的整個(gè)過程，你能概括出求這個(gè)曲邊三角形面積的方法嗎？（分割→近似代替→求和→取極限）

問題8 ：以上過程都是基于等分區(qū)間的，如果不等分區(qū)間行嗎？保證什么就可以？（更深層次地理解這一算法，體會(huì)其數(shù)學(xué)本質(zhì)）

問題9 ：對(duì)于一般的由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積你會(huì)求了嗎？（通過從特殊到一般的推廣，再一次強(qiáng)化求曲邊梯形面積的方法和步驟。同時(shí) 的出現(xiàn)為后續(xù)定積分的教學(xué)做了鋪墊。）

問題10： 任意曲線所圍成的曲邊圖形的面積怎么計(jì)算？（再次經(jīng)歷一般化的過程）

通過對(duì)問題由淺入深的層層遞進(jìn)，學(xué)生的思維一直處于積極的思考狀態(tài)。學(xué)生在分析問題、解決問題的過程中提升了思考能力，理解了數(shù)學(xué)本質(zhì)。課堂中充分向?qū)W生滲透觀察、分析、猜想、抽象、概括、歸納、類比等各種數(shù)學(xué)思想方法，從特殊到一般，讓學(xué)生的思維空間更為廣闊，學(xué)生逐步自主完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，使得學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行“再創(chuàng)造”，這都符合數(shù)學(xué)思維的建立。

關(guān)注探究活動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力

《曲邊梯形的面積》一課還設(shè)計(jì)了這樣兩個(gè)課外探究活動(dòng)：

活動(dòng)1 ：嘗試用“分割→近似代替→求和→取極限”的四部曲，驗(yàn)證球體的體積公式。

活動(dòng)2 ：由拋物線，直線，所圍成的平面圖形的面積為，嘗試編寫算法求的近似值，畫出程序框圖，并寫出相應(yīng)語(yǔ)句。

這節(jié)課讓學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)的孕育、形成、發(fā)展、運(yùn)用與拓展等完整過程，讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界。

基金項(xiàng)目：甘肅省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度 “隴原名師”專項(xiàng)課題“基于合作的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐研究”的研究成果（項(xiàng)目編號(hào)：GSGB[2015]MSZX139）