高中數學《立體幾何》單元教學微型專題

夏吉鑫

共點三垂直法

空間幾何體中若過一點有三條棱兩兩垂直，即可簡單稱其為“共點三垂直”。此時可將此多面體補成一個長方體，此多面體的外接球即長方體的外接球。

例1： 如下圖，在三棱錐中，且，試求三棱錐外接球的表面面積。

分析：因為三棱錐的三條側棱兩兩垂直，由此可得過三棱錐的一個頂點有三條棱兩兩垂直（稱為“共點三垂直”），此時可將此三棱錐補成一個正方體，此三棱錐的外接球即正方體的外接球。

解：如上圖把三棱錐補成一個正方體，其棱長為，由此正方體的外接球就是三棱錐的外接球。

設其外接球的半徑為；

則有?！唷?/p>

故其表面積。

小結： 一般地，若三棱錐在同一頂點處的三條側棱兩兩垂直（既出現共點三垂直），且其長度分別為a、b、c，則可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑。設其外接球的半徑為，則有。

首尾三垂直法

空間幾何體中若有三條棱兩兩垂直，且端點首尾相連，即可簡單稱其為“首尾三垂直”，此時可將此多面體補成一個長方體，此多面體的外接球即長方體的外接球。

例2：如圖所示四面體中，，，求四面體外接球的體積。

分析：四面體中，三條側棱da、ab、bc兩兩垂直端點首尾相連，稱其為“首尾三垂直”，此時四面體的外接球可以視作以此三條棱分別為長寬高的正方體的外接球。

解：四面體中，

又

三條側棱da、ab、bc兩兩垂直

四面體的外接球即以da、ab、bc三條棱分別為長寬高的正方體的外接球。

正方體的棱長為，正方體的體對角線為。

外接球半徑 外接球體積。

小結 ：一般地，若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且端點首尾相連（即出現首尾三垂直），且其長度分別為a、b、c，則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑。設其外接球的半徑為，則有。

異面三垂直法

正四面體中，三對側棱互為異面直線，且三對側棱之間兩兩垂直，稱其為“異面三垂直”，此時正四面體的外接球可以視作以正四面體棱為面對角線的正方體的外接球。

例3：求棱長為的正四面體的外接球的表面積。

分析：正四面體中，三對側棱、、 “異面三垂直”，此時四面體的外接球可以視作如圖所示的正方體的外接球。

解：如圖將正四面體放到正方體中，則正四面體的外接球既長方體的外接球。

正四面體邊長為 正方體的棱長為，正方體的體對角線為。

外接球半徑

外接球表面積

基金項目：甘肅省教育科學“十三五”規劃2017年度課題“高中數學新課程單元教學與微型探究教學有效整合的實踐研究”研究成果（項目編號：GS[2017]GHB3343）