淺談高中數學教師本體性知識之極限思想

張美芳

摘 要：數學的本體性知識，是指教師所具備的特定的學科知識，教師在教學的過程中，除了傳遞學科知識，更重要的是培養學生的思維能力與應用能力。極限思想是高中數學一種基本又重要的數學思想，在高中數學的教學中滲透極限思想，可以使一些數學問題避免復雜的運算，由難變易，對于培養學生的數學素養和意識有著積極的作用。

關鍵詞：數學本體性知識；極限思想；高考解題；滲透

一、數學本體性知識和極限思想的概述

數學的本體性知識既包括顯性的可言傳的數學知識，也包括隱性的數學素養，數學思想方法及能力是兩者的統一。極限思想是高中數學和大學數學的聯系紐帶，極限思想的學習和應用，對于學生學習數學知識，提高自身解決數學問題的能力，促進自身數學素質的綜合發展有著極其重要的作用。

在高中的數學課本上，并沒有對極限的概念明確給出定義，然而在教材的多處內容上卻滲透和體現了極限思想，如“區間的無窮遠”“二分法求方程的近似解”“函數導數的概念”等。極限思想是“使數學真正成為科學，使數學在應用方面和純理論方面發展成為豐富而正確的科學，進步成為深奧嚴格的科學的思想，滲透于整個數學中，并總是在活躍著的思想”。

極限的思想，是指用極限的概念分析和解決問題的思想，是一種無限接近于精準答案的思想，它可以幫助人們在有限中認識無限，在近似中認識精確。在高中階段，對于極限思想的學習主要集中在解題中的運用。下面通過一些例題的分析來提高對極限思想在解題中運用的理解。

二、極限思想在解題中的具體應用

【例1】（2011年山東高考理科數學第16題）

已知函數f（x）=logax+x-b（a>0，a≠1），當2

解析：因為a>2，f（x）在（n，n+1）時單調遞增。由題意可得，f（n）f（n+1）<0，則f（n）=logan+n-b<0，f（n+1）=loga（n+1）+n+1-b>0，當a→2，b→3時log2n+n-3≤0，當a→3，b→4時，log3（n+1）+（n+1）-4≥0，因為n∈N*，因此n=2。

單調函數在開區間求范圍問題，把區間端點代入求值，是極限思想方法的應用。在上題中，我們將問題中的變量無限逼近某個具體的數值，這樣使問題的隱含條件暴露，使問題容易進行分析判斷。

【例2】（2015年高考全國卷Ⅰ卷理科16題）

在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 。

解析：如圖，構造一個以∠B，∠C為底角的等腰三角形EBC，∠B=∠C=75°，過點C作CF=2，與EB交于點F，作AD∥CF，則∠A=75°，當A→E時，AB最長。在△EBC中，由正弦定理得，=，因此，AB=+；當A→F時，AB最短，此時=，得AB=-，所以，AB∈（-，+）

在上題的解法中，“化靜為動，以動制靜”，利用運動和變化的觀點，著眼于問題的極限狀態，摒棄了繁瑣的數學運算，使得所研究問題更加直觀、明朗。因此，根據問題的不同條件和特點，合理選擇運算途徑是提高運算能力的關鍵，而靈活地利用極限思想就成為減少運算量的一條重要途徑。

在高考中我們經常會碰到一些“無限性”特征的問題，有可能是變量取值的無限趨近，動點或者圖形的無限趨近，也或者是參數的無限趨近，這些都可以采取極限思想進行解題，通過以上幾個具體例子的展示，采用極限思想解題，避免了繁雜的運算，使抽象的條件更為具體，活化了思維，提高學生解決問題的能力。

三、中學數學教學如何培養學生的極限思維

極限思想從哲學的角度揭示了變與不變、近似與精確、有限與無限的對立統一規律。在高中數學的教學中滲透極限的思想，對于提升學生的思維層次和數學綜合素養有著積極的作用。

1.極限思想在高中數學的內容中有很多的體現，但是作為高中教材的隱形課程資源，它不成體系，還有待進一步的挖掘。因此，教師在教學的過程中，要樹立課程意識，把極限思想方法的教學融入備課環節，以教材內容為載體，依據學生的學情，挖掘教材中能夠滲透極限思想的因素。

2.極限思想對于學生來說，是抽象和陌生的，因此教師要認真研讀教材，精準定位極限思想的落腳點，使學生對于極限思想的模糊印象變為清晰。高中階段學習極限思維，主要還是體現在解題的應用方面，學生可以通過習題課和復習教學，逐步提高利用極限思想分析和解決問題的能力，讓學生體驗極限思想在解題上的簡捷性和優越性，感受極限思維在解題應用中的魅力所在，加深理解和印象。

參考文獻：

[1][日]米山國藏.數學的精神思想和方法[M].毛正中，譯.重慶：四川教育出版社，1986.

[2]林新建.思想立意，將數學解題臻于完美[M].長春：吉林大學出版社，2015.

注：本文為泉州市教育“領航團隊”專項課題《分層教學下高中數學教師本體性知識的研究》成果之一，立項標準號：QLHKT-018。

？誗編輯 趙飛飛