探索如何提高大學數學教育

郭聰沖　徐菊

摘要：本文主要從教學解決學生心理障礙、教學融入數學文化的內容、教學貼近生活、教學借助建模思想、教學引入課堂討論環節這五個方面系統闡述如何從教學上改進大學數學教育，培養學生邏輯思維能力、空間想象力、數學運算能力、數學表達能力、數學建模能力、合作探究能力，從而激發學生的主觀能動性，提高學習興趣，變被動學習為主動學習，變害怕數學為喜歡數學，進而提高大學數學的整體教育水平和教育質量。

關鍵詞：數學教育；心理學；數學文化；數學建模；課堂討論

中圖分類號：O13 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）44-0242-03

數學是研究數量、結構、變化、空間等概念的一門學科。大學數學教育普遍指非數學專業的本科數學教育，一般包括高等數學、線性代數、概率論與數理統計等，區別于其他學科，數學具有抽象性、精確性和應用廣泛性等特點。

學好大學數學不僅有助于提高邏輯思維能力，更有助于理工科學生的進一步學習和深造，但是在大學數學學習過程中，大部分學生都會望而卻步，普遍感覺入門難、掌握難、使用難，究其根本原因在于大學數學與初等數學具有明顯不同，學生無所適從。相較于初等數學的主要研究對象是數和形這類容易理解的定義，大學數學主要研究的是極限、微分、積分、矩陣這些抽象的定義，學生不僅理解困難而且由于知識點眾多，導致記了這個忘了那個，又或是將一些定義定理混淆，似是而非，難以達成理想的教學效果。

鑒于大學數學的重要性，我們主要從以下幾個方面對如何提高大學數學教育進行了探索和研究。

一、教學解決學生心理障礙

高等數學面對的對象大部分是剛踏入大學的新生，這些學生普遍對教師抱有類似高中時代的依賴心理，缺乏主動鉆研精神。在考慮問題上過度依賴教師，期望教師對問題進行歸納總結，沒有自己獨立思考。在動手解題上依賴教師，期望教師詳細地示范解題過程，不愿意自己解答，喪失了學習的積極性和主動性，從而導致了學習效率低下、錯誤率提高、興趣減少，進而產生害怕數學、厭惡數學的情緒，最終導致不愿意學習，對數學學習產生了心理障礙。數學學習的心理障礙不僅包括學生的主觀因素也包括了教師教學的客觀因素。教師作為課堂教學的主導者，其授課方式、言行舉止、價值取向會對學生產生重要的導向作用，在某種意義上可以說是數學學習心理障礙的關鍵因素。高等數學由于定理內容艱深，為了能夠呈現公式計算推導過程，必須要通過板書的形式，在黑板中展開教學。教師可以通過板書再輔以多媒體教學，理論聯系實際，多通過舉例說明等方法來培養和激發學生對學好數學的熱情。比如在學習二次曲面相關知識的時候可以給學生演示橢球面、雙曲面、拋物面，讓學生有更直觀的認識從而理解相關定義和性質。教師在教學過程中也要加強培養學生的好奇心，比如在學習極限內容之前，教師可以給學生介紹阿基里斯悖論（又名芝諾悖論）來先激發學生的興趣，提出這個悖論與中國古代莊子的“一尺之錘，日取其半，萬世不竭。”有什么樣的聯系，進一步的教師可以提出0.999…與1之間的大小關系是什么。通過這樣3個簡單有趣的例子，很容易調動起學生學習的積極性和主觀能動性，讓學生帶著問題去學習，解決學生學習數學的心理障礙。

二、教學融入數學文化的內容

目前的大學數學教育大部分局限于課本的知識，學生在面對大量“枯燥”“乏味”的定義、定理、推論、命題、證明、計算的時候不知所措，昏頭轉向，無所適從，整體課堂質量大打折扣。教師在上課的時候，應該對相關內容所涉及到的數學文化予以說明和講解。作為一門有著最悠久歷史的學科，數學的思想、方法、數學家、數學史、數學的美以及數學在推進社會進步方面的作用并未得到應有的重視。教師在授課中加入相關的數學家、數學史不但可以調節課堂氣氛而且可以讓學生知道其理論產生的背景以及后面隱藏的數學的美，從而提高課堂整體教學質量。比如在講授解析幾何相關內容的時候可以適當介紹幾何的公理化理論，向學生講解關于歐幾里得相關知識，并且提出“過直線外一點有且僅有一條直線與之平行”這條公理是否正確？進一步引出非歐幾何，包括黎曼幾何和羅氏幾何，而黎曼幾何又成為了愛因斯坦創立廣義相對論的有力數學工具。這些不僅讓學生可以站在更高的角度看待所學知識，更激發學生的求知欲，同時又與最時髦的廣義相對論聯系起來，讓學生覺得學有所用。又比如在講授高等數學的微分方程章節的時候可以適當介紹偏微分方程的定義，特別是發展出現代的電力科技與電子科技的Maxwell方程組以及流體力學的基本方程Navier-Stokes方程，通過對這些方程的簡單介紹可以讓學生清楚地了解到微分方程的本質問題：解的存在性、唯一性、適定性。又比如在學習幾何維數的時候，可以通過介紹Koch曲線引入分數維定義和分形概念，同時利用多媒體讓學生視覺感受到分形圖形在藝術上的美，甚至可以讓學生自己動手利用MATLAB軟件“畫出”分形圖畫，學會去用幾何描述大自然。

這些介紹不僅可以促進學生更好地理解數學歷史，欣賞數學的美感，還能讓學生真正地學會數學的思想方法，讓學生理解學科之間的關系，促進學生的自主學習，提高學習的興趣。

三、教學貼近生活

大學數學作為一門高度抽象的學科，有別于初等數學，對于一些定義和定理學生很難有直觀的認識，這些也是大學數學難學的主要因素。如果教師在教學過程設計中能夠貼近生活，把學生熟悉的、現實中的例子引入數學課堂中，則一定能提高學生的學習興趣，讓學生記得更牢，學得有趣，用得上手。要達到這種效果首先要求教師對于定義和定理本身有足夠的認識。不僅知道為什么這么定義，還要了解定理的各種應用。比如在講授函數極值這個知識點的時候，大部分學生會將極值與最值定義混淆。教師可以用連綿的山峰來表示閉區間上連續函數曲線，讓學生將極值與山腳和山頂聯系起來，這樣不同的山腳和山頂，對應的表示不同的極值，故極值不是唯一；最值表示的是最高的山和最矮的山腳，所以極值是局部的最值，最值一定是極值反之不然。又如在講授如何判斷兩個集合元素個數是相等這個知識點時，可以以同學和班級的座椅為例，讓學生思考：如何不通過數數字判斷兩者的數量；進一步的當集合元素個數為無窮多個的時候，可以以希爾伯特旅館為例：有一家旅館，內設無限個房間，而所有的房間都已客滿。這時來了一位新客，想訂個房間，讓學生設想自己是旅館老板，問可否安排新客人入住？怎么安排？通過精心的教學課程設計，引入學生生活中的實際例子和問題，讓定理和定義更貼近生活，使數學內容具有豐富的現實背景，使數學課堂不再是只有枯燥的定義定理，讓學生知其然，更知其所以然，感到數學無處不在。

四、教學借助數學建模思想

學了大學數學到底有什么用？相信這是大多數學生的困惑，也是大多數教師面臨的棘手的問題。現代數學觀認為數學具有科學方法論的屬性，數學思想方法是人們研究數學、應用數學、解決問題的重要策略。如何將數學理論知識應用于實際生活問題，數學建模是一個非常好的解決方案，它建立起了數學理論知識與應用之間的橋梁。最著名的利用數學建模解決實際問題當屬歐拉在面對“七橋問題”時將橋看成線，把實際問題轉化為點線相連的數學一筆作畫問題。傳統的數學教學，由于過于強調完整性和系統性，導致學生被動學習。如何解決學生被動學習問題，可以借鑒以下步驟將數學建模引入教學中去：首先，通過多媒體技術或情境展示等手段，向學生提供現實問題情境，引導學生分析、發現、提出其中所蘊含的數學問題；其次，根據問題的特征和需要，讓學生對數學問題進行必要的簡化，用較精確的數學語言提出解決問題的假設；再次，組織學生對數學問題進行探索，建立數學模型，最后驗證模型的準確性做進一步的推廣。通過這幾個步驟不僅可以提高學生的認知，將建立的數學模型運用到實際生活中，從數學的角度解決較為復雜的生活問題，使原本復雜的問題得以簡化，而且能讓學生體會到數學的實際應用價值，體驗到所學知識的用途和益處。比如在學習帶初值常微分方程解法的時候，可以借助數學建模的傳染病模型，讓學生認識到數學可以輔助政府進行防疫工作；又比如在學習均值的假設檢驗的時候，可以借助數學建模的方差分析模型，讓學生知道不同的化肥和小麥品種對產量的影響。

在大學數學教學中個引入數學建模不僅可以培養學生利用數學方法解決問題，更可以提高學生實踐和創新能力，培養學習的主動性和積極性，更加容易理解大學數學，增加學習興趣。

五、教學引入課堂討論環節

筆者在從教中發現，學生思考問題的時候往往是單兵作戰，相互之間沒有“合作探究”的意識。在教學中引入課堂討論環節，不僅能夠快速抓住學生的注意力，活躍課堂氣氛，而且有利于保持學生的學習熱情和課堂效率的提升，更有利于學生之間的思想碰撞。課堂討論環節主要包含以下5個步驟：劃分小組、設計問題、組織討論、總結發言、教師評價。教師要熟悉班級每個同學的學習水平，正視個別差異，貼近學生實際，科學分組（以3—5人為佳），同時在每個小組中指定負責人。通過對教材的深度挖掘，合理設計問題，在討論過程中應該鼓勵學生多想、多問、多交流，同時要觀察、跟蹤每個小組討論進展，在小組負責人給出總結發言后，教師要對學生的總結發言以肯定為主，給予正面評價。比如在學習如何計算不定積分的時候，引導學生分組討論，熟練掌握第一換元法、第二換元法等不同的積分方法；在學習如何計算逆矩陣的時候，分組討論可以幫助學生熟練掌握伴隨矩陣、初等變換、分塊矩陣等不同的概念和方法。在教學中引入課堂討論環節，學生在參與討論的時候，可以形成自己獨特的見解與認知，通過學生之間的交流、討論、分析增進對數學基本概念的理解，又可以培養學生的表達和交流能力。

通過心理、文化、生活、建模、討論這五個方面對大學數學教學進行探索和改進，培養學生邏輯思維能力、空間想象力、數學運算能力、數學表達能力、數學建模能力、合作探究能力，從而提高學生的學習興趣，變被動學習為主動學習，變害怕數學為喜歡數學，進而提高大學數學的整體教育水平和教育質量。

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Abstract：This paper is trying to state specifically from five aspects which are solving students'psychological problems during the course of teaching，absorbing mathematical culture in teaching，making teaching close to life，making use of model thinking and adding seminar in teaching to discuss how to improve university mathematics teaching and how to develop students'logical ability，space imagination，mathematics calculation，mathematics expression，mathematics modeling ability and cooperation so that to inspire students'learning interests and courage them to love studying mathematics and by this way to improve the university mathematical education and teaching quality.

Key words：mathematics education；psychology；mathematics culture；mathematical modeling；class discussing