基于數(shù)學學習心理的教學片斷設計

劉輝 康文彥

關鍵詞：高中數(shù)學；學習心理；教學片斷；余弦定理

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1009-010X（2018）20/23-0121-03

對于教師來說，教育心理學是教學設計的靈魂，以學生心理為依據(jù)的教學設計才會合教與學的規(guī)律。

一、教育心理學在教學活動中的體現(xiàn)

將教育心理學運用于教學設計的最終目的是將其落實于教學實踐。所以教學設計首先應該考慮如何將學情和教學理論框架應用于具體的教學環(huán)節(jié)當中，數(shù)學教學活動一般包含課堂引入、呈現(xiàn)內容、師生互動和測評強化四類基本教學活動。

第一步是課堂引入，數(shù)學課堂的引入環(huán)節(jié)要喚起和引導學生的注意，激活相關原有知識，而且要讓學生具體了解課堂學習的目標；其次是呈現(xiàn)內容，教師呈現(xiàn)的新材料或新方法應具有鮮明的特征，必須與學生原有的知識產(chǎn)生穩(wěn)固的聯(lián)系；再次是師生互動，數(shù)學課堂中師生互動典型的表現(xiàn)為“提問-回答”這一過程，所以教師一定要做好問題的設計——在課的開始設計問題的目的是激發(fā)學生的興趣和注意力，在課的中間設計問題的目的是促進學生集中注意力和引導學生的思維，在課后設計作業(yè)的目的是用來小結和評價學生的學習情況，為學生布置拓展性任務；最后是測評強化活動，測評強化活動的目的是促進學生進一步回憶和鞏固學習到的概念、方法和結論，并逐步形成應用所學知識和技能解決新問題的能力。就知識而言，教師可提供有意義的組織結構，供學生回憶知識使用；就技能而言，教師可以安排多種練習機會，讓學生進行反復性和間隔性的訓練，從而達到知識的鞏固和強化；就激發(fā)學生興趣而言，教師可以適當運用心理暗示和適度的獎懲，激發(fā)學生學習興趣。

二、結合具體教學內容的分析

例如對于余弦定理這節(jié)課的內容來說，推導余弦定理是本節(jié)課的關鍵和重點，以下將選取余弦定理的推導作為教學片斷進行內容分析。

（一）知識的地位與作用

余弦定理是高中數(shù)學人教A版必修五的1.1.2節(jié)，學生初步掌握正弦定理進而即將學習實踐應用，所以這一小節(jié)內容起著很重要的承前啟后作用。在高考中，余弦定理也是必考內容之一，因為其綜合性、應用性比較強，容易與其他數(shù)學問題及生活實際相結合，所以考查頻率很高，所占分值在10分左右。

（二）學情分析

學生在初中學習過用“邊角邊”和“邊邊邊”證明三角形全等，學生會用這兩個定理，卻不知道其緣由。學生也會用“大邊對大角”以及勾股定理等結論，初步對三角形的邊角關系有一定的認識。特別是剛學過正弦定理，這使得學生對邊角關系的理解進一步進行了強化，對邊角關系的研究也更加深入。為本節(jié)課的研究提供了一定的研究基礎，有一些研究方法也可以借鑒。但是本節(jié)課思維量比較大，對學生的分類討論、歸納推理以及運算能力也有一定的要求，所以學生對學習和探究個別推導方法時可能會有一定的難度。

（三）教學目標

知識與技能：會用多種方法進行余弦定理的推導。

過程與方法：引導學生從已有的知識基礎出發(fā)，展開思維，用多種可能的方法推導余弦定理。

情感、態(tài)度與價值觀：在探索和證明的過程中，鍛煉學生的發(fā)散思維能力，讓學生感受定理發(fā)現(xiàn)的過程以及培養(yǎng)學生善于思考、勇于探索的學習精神。

（四）重點和難點

重點：用向量法進行余弦定理的推導。

難點：多種方法對余弦定理的推導過程。

（五）教學方法

重視認知的發(fā)生過程，在知識的獲取過程中激發(fā)學生的思維。利用問題串的形式引導和激勵學生用多種已學知識進行問題的解決。

三、對課堂教學的設計

（一）導入

問題1：在初中我們證明兩個三角形全等有哪些方法？

問題2：那你知道為什么兩個三角形中兩條邊以及其夾角對應相等，第三條邊就會相等？為什么兩個三角形中三條邊都對應相等，兩個三角形就會全等？

【設計意圖】緊密聯(lián)系教材，結合初中學生熟知的、應用非常頻繁的兩個定理，究其原因、引出學生的疑惑。

問題3：在一個湖中有兩個與陸地相接但彼此不相接的半島，如何求這兩個半島間的直線距離？

【設計意圖】創(chuàng)設一個實際情境，引導學生構建三角形，將實際問題轉化為已知三角形中的兩條邊及其夾角，如何求另外一條邊的問題。

通過以上三個問題的引導，使得學生對熟知的定理產(chǎn)生質疑，并結合實際情境以及學生已有知識將實際問題轉化成需要用余弦定理解決的數(shù)學問題，這可以激發(fā)學生的疑點，吸引學生注意力，使其積極投入到思考和試圖解決問題的過程中。

（二）學生自主思考

問題4：同學們是否能將問題3中的情景進行數(shù)學抽象呢？

【設計意圖】讓學生將實際問題進行數(shù)學抽象，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。數(shù)學抽象可以簡化情境，將學生的注意力回歸到數(shù)學問題上來。

這個問題學生容易解決，即轉化為：在△ABC中已知AC=b，AB=c和A，求a.

問題5：回顧一下你所學的知識，如何解決這個問題？

【設計意圖】學生剛剛學習過正弦定理，所以學生比較容易想到用正弦定理解決該問題。但這種方法的運算過程很復雜，教師可以引導學生進行思路的分析，讓學生體會到其繁雜性，具體推導過程可以放在課后，可以培養(yǎng)學生的數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。在這個過程中，學生雖然想到了解決問題的辦法，但是其運算過程繁雜，所以乘機鼓勵學生繼續(xù)思考。

問題6：還有沒有其他方法？

【設計意圖】用正弦定理的方法難以解決，那么學生還可能想到做高，構建直角三角形。但是，構建直角三角形需要進行分類討論，即以為銳角、鈍角和直角分類進行推導，可行性較強，稍顯繁雜。在此過程中也可以幫助學生回顧三角函數(shù)知識以及培養(yǎng)學生數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。相對上邊的方法，該方法較為簡單，所以學生可以成功進行求解，內心獲得一定的成就感，但分類討論使得該法的運算量較大，仍有改進的余地。

（三）教師引導

問題7：從三角形上看，已知條件都集中在角附近，知道兩條邊及其夾角，我們在哪兒見過類似的情景？

問題8：用向量方法如何用已知量表示未知量？

【設計意圖】用類比的方法讓學生回憶平面向量基本定理中類似的情景，從而想到用向量解決問題。 利用向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，將幾何關系轉化成代數(shù)關系。本節(jié)課的生成點和切入點就在于此。向量法是本節(jié)課的重點內容，一方面讓學生回顧向量知識，另一方面應用向量根據(jù)解決數(shù)量問題，體會向量解決問題的簡潔性，從而體會數(shù)學工具的妙用。用向量法學生能獲得極大的滿足感，從簡潔的推導過程中獲得驚喜。

（四）知識拓展

問題9：向量法可以將數(shù)與形結合起來，那結合數(shù)形關系的方法還有什么？

問題10：用解析法解決該問題的過程中如何表示三角形各個頂點的坐標？

【設計意圖】用數(shù)形關系的特點，讓學生回顧解析法，將三角形置于平面直角坐標系中，用三角函數(shù)的定義表示三角形頂點的坐標，在坐標系中求線段的長度。這種方法比向量法稍顯繁雜，但不需做高法中的分類討論，而且可以很好地回顧三角函數(shù)的知識以及鍛煉學生的運算能力。解析法的思考和推導是對學生思維的升華。

（五）小結

問題11：我們用了哪些方法進行余弦定理的推導？這些方法各自有什么特點？

問題12：有沒有其他可以推導余弦定理的方法？

【設計意圖】讓學生對所學的四種方法進行小結，及時對所學知識進行鞏固和強化。在分析各個方法的特點時，體會用幾何方法解決代數(shù)問題的優(yōu)點。另外，有的學生還可能會有其他推導思路，教師可以進行簡單的評析，或者將其留作開放性作業(yè)，讓學生課后進行探究和整理。通過小結，學生整理和鞏固了所學的方法，并激發(fā)了學生尋求其他方法的欲望，為學生的拓展性和深入性學習提供了可能。

四、設計反思

在教學設計中首先用學生熟悉的定理和情境進行引入，激發(fā)學生的疑惑和求知欲。用問題串的形式引導學生進行思考，問題解決的魅力不只是讓學生獲得具體問題的答案，更多的是學生在問題解決過程中獲得能力的提高。

教學設計要依據(jù)學生學習的心理過程設計，為發(fā)展學生的思維而設計，而不是為獲得某個結論而設計。呈現(xiàn)形式的精煉，并不一定代表思維過程的簡單，只有學生充分探索了、經(jīng)歷了，才能更好地感悟教材呈現(xiàn)方式中經(jīng)典數(shù)學思維的簡潔美。本小節(jié)片斷課的設計充分考慮了學生的知識基礎以及學習心理特點，將問題設置在最近發(fā)展區(qū)，逐步引導學生進行思路的拓展和問題的深入探究，符合學生對該部分知識的認知特點。而且在設計過程中，體現(xiàn)出培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的教學環(huán)節(jié)，可以為基于核心素養(yǎng)提升的高中數(shù)學教學設計提供參考。