關于二重積分計算方法的探討

江蘇財會職業學院基礎部 夏 云

二重積分是多元微分學的重要組成部分，在工程數學和應用數學中有著廣泛的應用，而對二重積分進行計算又是學習二重積分內容的重中之重，要想正確計算二重積分，我們要有知識準備。

一、將二重積分按兩種次序化成累次積分

直角坐標系下，二重積分的積分區域有兩種類型：X-型和Y-型。如果積分區域D是X-型區域，則D可表示為D={（x,y）此時可將二重積分化成累次積分，即:。如果D是Y-型區域，則D可表示為此時可將二重積分化成累次積分，即

二、交換積分次序

如果給定的二重積分計算量較大、較難或無法用初等函數形式表示出來，這時可考慮交換積分次序重新計算。一般步驟是：（1）根據已給的二次積分的積分限得出相應的二重積分的積分區域,并畫出草圖；（2）按相反順序寫出相應的二次積分。下面通過實例說明這一過程。

解：根據給定二重積分可以看出，其積分限是用Y-型積分區域表示，積分區域為

作出積分區域D的圖形（如圖1），觀察圖象可知，D也可以用X-型區域表示：

圖1

三、極坐標系下的二重積分

如果積分區域是扇形、圓形或環形等，或者被積函數中含有“x2+y2”的形式時，通常選用極坐標系計算二重積分更方便。由點的極坐標與直角坐標之間的關系x=rcosθ，y=rsinθ，可得被積函數f(x,y)用極坐標 (r,θ)表示為，故在極坐標系下，二重積分可表示為其中，D′表示區域D的極坐標表示。

四、二重積分的計算

有了上述知識點的準備，我們在計算二重積分的時候就能夠做到游刃有余了，下面通過實例加以說明。

解：由積分區域D的圖象（如圖2）可知，極點O在區域D的內部，則D可以表示為作極坐標交換

圖2

解：作出積分區域D的圖象（如圖3），觀察圖形可知D既是X-型區域，又是Y-型區域，故考慮用兩種類型分別加以計算。

圖3

綜上所述，化二重積分為二次積分時，為了計算簡便，需要選擇恰當的二次積分次序。這時，既要考慮積分區域D的形狀，又要考慮被積函數的特性，這就需要我們靈活運用知識點計算二重積分。