解直角三角形的類型和應用

江西省贛州市南康區連城初中 曾凡廷

解直角三角形是空間與圖形中的重點內容，它是根據直角三角形的性質和已知條件，計算直角三角形未知的邊長、角度和面積以及相關的幾何圖形的數量，同時是解決實際生活問題中的重要數學模型。中考數學試題主要是考查學生對解直角三角形知識的理解以及解決實際生活問題的能力，在中考試題中占有較大的比例（約10%左右）。

一、解直角三角形的基本類型和方法

要解直角三角形，在給出的兩個元素中（除直角外），至少有一個是邊。解直角三角形可分為兩大類，其一為已知一條邊和一個銳角，其二為已知兩條邊。四種基本類型和解法列表如下：

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此類題型在中考試題中主要是以填空題、選擇題形式出現，重點考查特殊角的三角函數值及三角函數定義。

例1 如圖1，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，且∠A＝30°，AE＝2，則AB=___。

解析：所求是Rt△ABC的斜邊，但在Rt△ABC中只知一個銳角A＝30°，暫不可解。先在Rt△ADE中，已知一直角邊及一銳角可求得：AD=AE÷cos30°=2÷cos30°，然后在Rt△ACD中求出最后求出AB。

圖1

說明：本題是由幾個直角三角形組合而成的圖形。對于這樣的問題，先解出已經具備條件的直角三角形，從而逐步創造條件，使問題獲得解。

例2 如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC的中點,若，求AD的長。

圖2

說明：解直角三角形時，直角三角形中有關圖形之間的數量關系，會呈現出許多不同的解直角三角形問題，應注意三角形中主要線段的性質，利用平面幾何的有關定理，能夠建立已知與未知的聯系，然后找到解決問題的突破口。

二、解直角三角形在實際問題中的應用

此類題型在中考試題中主要是以解答題的形式出現，屬中檔題，重點考查由直角三角形中的有關知識來解決實際問題的應用能力和以三角函數為題設條件的三角型綜合題。

利用解直角三角形的知識解決實際問題，主要包括度量工件、測量距離、工程技術等方面，而解決問題的關鍵是要從實際問題中抽象出幾何圖形，找出數學模型（解直角三角形），使實際問題得到解決。

例3 如圖3，某勘測隊要測一座山的高度，先在山腳（點B）測得山頂的仰角為36°，沿傾斜角為20°的山坡前進600米（點D），又測得山頂的仰角為60°，求山的高度（精確到0.1米，可用計算器）。

圖3

分析：如圖可知，AC為山高，BD為山坡，∠DBC＝20°，∠ABC＝36°（仰角為視線與水平線的夾角），BD＝600米，∠ADE＝60°，要直接在Rt△ABC中求BC條件不夠，必須設法先求出AB，這就需要構造新的直角三角形。

解：過D作DF⊥AB于F，在Rt△BDF中，∠DBF＝36°-20°＝16°，

∴BF＝BD·cos∠DBF≈600×0.9613＝576.76（米），DF＝BD·sin∠DBF≈600×0.2756＝165.38（米）。

在Rt△ADF中，∵∠DAF＝60°-36°＝24°，∴AF＝DF÷tan∠DAF≈165.38÷0.4452＝371.44（米）。

∴AB＝AF＋BF＝371.44＋ 576.75＝948.19（米）。

在Rt△ABC中，AC＝AB·sin∠ABC≈948.19×0.5888＝557.3（米）。

答：山高為 557.3米。

說明：應用問題的題型千變萬化，關鍵是轉化為解直角三角形的數學模型，從而得解（必要時應添加適當的輔助線，構造出直角三角形）。

說明：

1.測量底部不可以到達的物體的高度的問題，通常是根據兩個直角三角形的邊長關系，列出含有被測物體高度的方程；

2.測量底部可以到達的物體的高度的問題，常采用如下模型和公式：如圖4，已知CE＝a，CD＝b，∠ACE＝α，則AB＝AE＋b＝a·tanα＋b。

圖4