利用翻折手段認知幾何體模型

江蘇省常州市三河口高級中學 胡愛華

眾所周知，立體幾何是培養學生空間想象能力的重要章節，而翻折問題又是立體幾何中極具想象能力的問題類型，其以平面圖形為根本，以動態轉動為背景，將空間想象能力的考查融入問題之中，做到了平面幾何和空間幾何之間的知識交替，提升了學生空間感知的區分，從而提升了學生直觀想象的學科素養。

一、概念認知——認知空間四邊形

空間幾何是三維的，從翻折的角度來說，空間幾何可以看成是平面幾何的升級。比如，平面四邊形和空間四邊形是怎么區別的？不少學生對于這樣的數學概念是缺乏認知的，教材中也恰恰對很多幾何概念的描述有所缺失。舉一個很簡單的案例：四面體的概念認知，教材中并沒有明確給出一些幾何體的概念，如空間四邊形、四面體等等，只是零星提及，這讓學生認識幾何體概念是模棱兩可的。用平面幾何中的四邊形ABCD為載體，通過翻折逐一介紹，可提升學生對基本概念的認識程度。

圖1

如圖1，以四邊形ABCD沿著對角線AC進行翻折，記其在空間的位置為V，此時由空間幾何的公理可知，其四條邊不在同一個平面中，此時平面四邊形就轉變成空間四邊形了。進一步思考四面體概念和三棱錐概念，將空間四邊形的AC、VB進行連接，從幾何體結構的角度來說，這就是我們熟悉的三棱錐；從多面體面數的角度來說，這就是我們熟知的四面體。因此可以這樣認為：其實這四個在空間的點組成的幾何體，即{三棱錐}={四面體}={空間四邊形}。那么我們進一步想：為什么四棱錐不等同于五面體，五棱錐不等同于六面體了呢？這就很容易解釋了，因為五面體除了四棱錐之外，三棱柱也可以，因此這種等價命名方式就不可取了，同理，六面體也可能是某一種四棱柱，而不僅僅是五棱錐了。通過簡單的翻折，學生對平面四邊形如何形成空間四邊形有了足夠的認識，對概念為什么如此稱呼有了更為深刻的認知，將翻折手段用于概念教學，有助于學生對于空間概念的感知。

二、定性感知——認知圓錐模型

定性的空間翻折問題，是一種非精確量化的立體幾何問題，這里更是進一步對學生空間想象能力的培養。如何解決定性的翻折問題，這里筆者以為需要兩種主要手段或工具，其一是模型的幫助，在問題解決過程中制造模型，加強公理化體系在模型中的運用；其二是向量知識的幫助，向量是很好的解決空間幾何的工具，尤其是以基底為載體的自由向量。

（1）存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直；

（2）存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直；

（3）存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直；

（4）對任意位置，直線“AC與BD”“AB與CD”“AD與BC”均不垂直。

圖2

分析：筆者以為解決本題有兩種主要方式，其一是制作紙張模型，結合公理化體系論證，但是違背了“小題小做”的意愿；其二是自由向量的手段，在翻折問題的感性認知上可以做到游刃有余。

首先揭示本題翻折的本質，即△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折過程中，其中，點A的軌跡自然是陰影部分（如圖2）底面圓周上的點。以自由向量呈現的夾角狀態做出感性的分析：

我們發現，翻折過程中對于動點A的軌跡的認知，是問題的模型本質，即圓錐模型。小題小做的方式告訴我們，用向量的工具性作用大大簡化了翻折問題的思考，在頭腦中有了感性的角度認知，高效簡潔。

總之，空間幾何中的翻折問題是提升空間感知的重要問題載體，通過其熟知基本幾何體的形成、感知并解決問題是教學需要加以關注的，進一步可以利用翻折問題加強空間想象能力的培養，這才是翻折問題教學實際的價值所在。