解析每一單元 上好每一課時

凌佳 彭亮

【摘 要】“不等關系與不等式（組）”新授課的教學設計試從“問題情境，突出重點”“提出問題，引發思考”“合作探究，達成共識”以及“應用反饋，拓展提升”等四個方面來予以思考，以期幫助學生習得這一課時中最為核心的知識及其相應的數學思想和方法，以為后續單元知識的學習做好鋪墊。

【關鍵詞】單元知識結構；不等式；新授課；教學設計

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）43-0013-03

【作者簡介】1.凌佳，浙江省杭州第十一中學（杭州，310014）教師；2.彭亮，南京曉莊學院（南京，211171）教師教育學院講師，教育學博士。

一、基于單元知識結構的課時教學設計

基于單元知識結構的教學設計意在從整體上重新思考單元知識的教學，這其中，就單元中某一課時的教學設計而言，需在重新確立的單元知識結構基礎上，明晰其核心知識和學習價值，從而將核心知識和學習價值以某一問題情境的形式出現引發學生學習，進而通過問題的變換和深入引導實現教學的展開。

一方面，就某一課時的內容分析而言，重在從單元知識結構的角度來予以思考和判斷。單元知識結構是某一課時教學內容分析的準繩，教師在進行單元知識結構的教學設計之時，并非僅從某一課時的內容出發來進行設計，而需把這一課時的內容放在單元知識結構中予以重新審視，其意在從單元整體的視角獲得關于這一課時內容的要點及其數學思想和方法的深入認識。因而，基于單元知識結構的課時教學設計應從整體上關聯數學知識或是其所體現的數學思想和方法。

另一方面，就某一課時的教學設計模式而言，其重在將這一課時內容的要點及其數學思想和方法，通過某一問題情境的形式引發和展開教學。如若某一課時內容的要點及其數學思想和方法能在單元知識結構下予以明晰，那么，教學實踐中理應凸顯這一要點及數學思想和方法。鑒于此，問題情境的聚焦或可讓學生充分體會某一課時內容的要點及數學思想和方法，進而通過變換問題情境中的數學問題，幫助學生深入學習相應課時內容的要點及其數學思想和方法。

基于單元知識結構的課時教學設計可在課時內容分析的基礎上，通過“問題情境，突出重點”“提出問題，引發思考”“合作探究，達成共識”以及“應用反饋，拓展提升”四個環節來進行思考。其中，“問題情境，突出重點”旨在以某一問題情境的方式，將某一課時的內容要點及其數學思想和方法予以體現；“提出問題，引發思考”旨在從問題情境中提出與這一課時內容要點及其數學思想和方法相關的問題，從而引發學生思考；“合作探究，達成共識”旨在通過師生、生生互動和合作，達成關于相關問題的共識，從而學習這一課時內容要點及其數學思想和方法；“應用反饋，拓展提升”旨在引導學生將所學內容運用于相關數學和實際問題中，并將其所學習的數學思想和方法進行適當的拓展和提升。

二、基于單元知識結構的課時內容分析

本節課是蘇科版初中數學七年級（下）的一節新授課，是在學生學習了簡單的“不等號和不等關系在生活中的表達”基礎上進行的。就本單元的知識結構而言，其中心線索是一元一次不等式（組）的問題解決。這一問題解決的實現基礎是一元一次不等式（組）的概念和一元一次不等式（組）的算理；分析路徑主要是代數法和圖像法。此外，其所蘊含的主要數學思想與方法有數形結合、類比以及換元化歸等。由此，本單元的內部知識結構可由下圖表示。

圖1 一元一次不等式（組）單元知識結構圖

僅就本課時而言，學生不僅需學會用數學符號來表達問題情境中所蘊含的不等式（組），還需通過不同的問題情境以豐富對數學符號的體會，并體驗在解決有關不等關系問題中的不同數學思想和方法的意蘊。

不等式是描述數量關系的一種模型，它是學生構筑代數思維的基礎。代數思維的基礎是能將文字語言（生活語言）與符號語言（數學語言）進行對應，在這里，符號語言不僅是指對字母的數值含義的明確，也包括了對其中數量關系的明確。因此，通過對這一節課的學習，學生應該對不等關系有較為全面的認識：（1）掌握不等號、不等式、不等式組的概念；（2）會根據不等關系列出不等式（組）；（3）能用合理的不等關系解釋不等式（組）。

三、基于單元知識結構的課時教學設計

1.問題情境，突出重點。

某市準備對一新修公路的兩旁進行植樹，在這一過程中，工人們遇到了這樣一些問題。看看我們能不能用數學的方式來進行表示：

A.為了保證所栽種的樹能夠成活，栽種時的樹圍至少是4cm，樹的高度應大于4m，小于5m，且樹的種類應多于1種，少于4種；

B.為了保證樹種采購的質量，市政府規定所采購的樹種不合格數不超過20棵；

C.市政府對樹種采購的預算至多5000元；

D.在采購的樹種中，不滿足上述要求的樹種不多于10棵（這些樹的樹圍都不足3cm）；

E.為了保證道路的美觀和樹的成長，樹與樹之間的間距應大于等于4m，小于等于6m；

F.最終，市政府采購了兩類樹種，兩類樹種的單價不相等。

問題：（1）請試著將問題情境中所涉及的不等關系的文字表述找出來，并進行歸類，且將相應類別用數學符號加以表示；（2）請試著用數學的方式改寫上述的文字表述。

（設計意圖：首先，對于初中生來說，用文字表達不等關系并不陌生，但困難在于學生沒有對所遇到的這些不等關系進行歸類，從而以更為簡潔的方式認識現實生活中用以表達不等關系的龐雜的文字表述；其次，學生只有在文字表述、數學語言以及后面要學習的圖形語言之間建立聯系，才能更好地幫助學生用不等式來表達和解決其所遇到的現實或數學問題；最后，文字表述與數學語言之間的對照，能促使學生深刻地感受到數學語言的優勢，從而讓學生體會到數學能對復雜的現實世界進行符號化，進而在其所創造的符號世界中對現實世界進行模型化思考。）

2.提出問題，引發思考。

（1）請找出問題情境中有關不等關系的文字表述；（2）想一想，這些表示不等關系的文字表述可以分成幾類；（3）在數學上，是否有相應的符號與你的分類相對應，試著將文字表述與數學符號一一對應。除此之外，還有哪些文字表述也可用來表示相應的不等關系。

（設計意圖：這一連串的問題旨在引導學生把問題情境中的有效信息提取出來，并理解同一不等關系可有多種文字表述形式，進而用數學的語言理解并表示出來。）

首先，通過文字的字面含義可將其歸為五個類別。（可參見圖2）

其次，通過文字表述，找到相應的數學符號來表示。

最后，根據學生的回答補充“正數”“非負數”“不少于”“超過”“落后于”等文字表述，進而形成圖3。

3.合作探究，達成共識。

結合不等關系的符號語言，試著用數學關系式來表示以上問題情景中的文字表述。

首先，需設未知數表示文字表述中涉及不等關系的量；其次，找出不等關系；最后，用數學關系式來表示不等關系。

觀察由上述問題得到的關系式，相對等式來說它們有什么特點？

（設計意圖：本環節旨在使學生通過關系式轉寫文字表述中不等式的含義，且理解實際問題中所包含的不等關系。）

4.應用反饋，拓展提升。

深化情境：最終，市政府采購了兩類樹種，其中一類樹種的樹圍是4cm，以后每10年增加約12cm，經過x年后這類樹的樹圍不少于30cm；另一類樹栽種時的樹圍是6cm，以后10年內每年增加約3cm，經過x年后這類樹的樹圍將超過30cm。

問題：（1）你能找出其中的不等關系嗎？（2）怎么用數學語言表示這里的不等關系？

此外，課后可以布置以下幾道題目作為家庭作業：

下列問題中的數量關系應該用怎樣的式子來表示？

現實問題：①圖4是公路上對汽車的限速標志，表示汽車在該路段行駛的速度不得超過40km/h。怎樣表示v（km/h）與40之間的關系？②天氣的能見度s至少需要10公里，怎樣表示s和10之間的關系？

數學問題：①寫出Rt△ABC中有關邊、角的不等關系；②要使代數式 有意義，x的值與3之間有什么關系？③一個三角形的三邊長分別為1，2，x，則x的取值范圍是多少？

實際應用：用甲乙兩種原料配成某種飲料，已知這兩種原料的維生素C含量及購買這兩種原料的價格如下表所示：

①現配制這種飲料10kg，要求至少含有4200單位的維生素C，試寫出所需甲原料的質量x（kg）應滿足怎樣的不等關系；

②如果還要求購買甲、乙兩種原料的費用不超過72元，那么你能寫出x（kg）應滿足的另一個不等關系嗎？