淺談如何在高等代數教學中培養學生的創新思維能力

曾友芳　鄭海艷

摘要：在對創新型人才需求大大增加的“互聯網+”時代，大學教育比以往更重視創新型人才的培養。作為數學重要的核心基礎課程，高等代數需要在教學過程中注重培養學生的創新思維能力。本文就此探討了一些培養創新思維能力的方法。

關鍵詞：高等代數；創新思維；能力培養

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）29-0196-03

2015年3月，李克強總理在政府工作報告中首次提出“互聯網+”行動計劃。2015年7月，國務院印發《關于積極推進“互聯網+”行動的指導意見》。2015年10月，中國共產黨第十八屆中央委員會第五次全體會議指出：實施網絡強國戰略，實施“互聯網+”行動計劃，發展分享經濟，實施國家大數據戰略。自此，“互聯網+”成為整個國家經濟轉型、創新驅動的一個重要工具和手段，我國進入到了“大眾創業，萬眾創新”的時代。在“互聯網+”時代，對創新創業型人才的需求大大增加，而大學就是培養創新人才的重要基地。

創新就需要有創新意識和行動的人才，而創新的人才需要創新的教育。創新教育是適應社會發展和時代要求的教育，是與時俱進的教育，它相對于傳統教育來說是一種全新的思想和理念，是以培養創新精神、創新能力、創新意識、創新思維等為目的的教育[1]。大學期間，本科生將接觸很多課程，每門課程都有相應的培養目標，通過學習而得到相應能力的提升。而高等代數作為一門大學數學核心且重要的基礎課程，既具備數學嚴謹、靈活和簡潔的特點，又具備計算題結構清晰步驟明確的特點，可以通過計算機及應用軟件方便地操作實現，利于培養數學建模思想，符合創新人才的培養方向。通過“互聯網+”時代對創新人才的需求來設計高等代數的教學改革，凸顯高等代數為培養學生的創新思維能力所做的調整，實現教學內容的深度學習和實戰能力的培養。

傳統的高等代數教學總是根據教學內容和教學大綱來設計教案，教師講授為主，用的是知識輸入理念，為此，大部分學生總是被動地接受知識，沒有主動的思考，漸漸地失去了興趣，只有少數對數學有濃厚興趣的學生主動通過學習去鍛煉自己的創新思維能力。正如愛因斯坦所說：“結論幾乎總是以完成的形式出現在讀者面前，讀者體驗不到探索和發現的喜悅，感覺不到思想形成的生動過程，也很難達到清楚地理解全部情況”。基于時代對創新人才培養的需求，很多學者已經做了這方面的探索[2-5]，筆者根據多年的教學改革經驗，以高等代數經典教材[6]為參考，通過實例從四方面總結闡述如下。

一、溫故而知新，類比遷移法

高等代數教材[6]的第2章是關于多項式的理論初步的，尤其以一元多項式為主。而在其間，涉及到多項式的整除性（帶余除法）、最大公因式及如何表示成多項式的線性組合、互素、分解等概念，在第1章基本概念中介紹整數的一些整除性質的時候都有類似結果。顯然，借助第1章關于整數的對應知識來幫助理解第2章的知識，起步就容易很多。不然，隨后抽象的理論和嚴謹的證明，以及多項式的輾轉相除法、在不同數域的分解等，這些較深的知識就會讓學生望而卻步，有了前面基礎概念的鋪墊，逐步加深到這些知識，學生就更易于接受。

從這里可以看到，要創新，先要有根基，有一定的理論和實踐基礎以及經驗，然后再逐步推廣到更深領域。通過高等代數中類似遷移法的學習，增強了學生們自學的能力和創新的信心。

二、敢于嘗試多利用計算機軟件解決問題

高等代數主要由多項式理論初步和線性代數基礎組成。在以往的學習中，注意到線性代數部分有很多計算題是結構清晰而計算步驟明確的，對于這種類型，已經有多本書籍總結了如何使用MATLAB軟件來快捷地計算。而其中，有些問題在未嘗試前或按常規計算后，估計或發現用MATLAB算不了，這時候，究竟是放棄還是繼續嘗試？在課堂中，筆者常把此類問題留給學生課后去思考和解決，然后下次課堂上再繼續討論。比如計算帶有字母的n階行列式D，事實上，不賦值給n的時候并不能順利地輸出矩陣，進而無法計算行列式。即使n比較大，也可以通過命令計算，就算里面含有字母而不全是數字。例如：

例1. 計算帶有字母的4階矩陣A的行列式。

>> syms x y

>> A=[x x*y 0 0；1 x+y x*y 0；0 1 x+y x*y；0 0 1 x+y]

A =

[ x， x*y， 0， 0]

[ 1， x + y， x*y， 0]

[ 0， 1， x + y， x*y]

[ 0， 0， 1， x + y]

>> det（A）

ans =

x^4

例2. 計算賦值給n的行列式D，比如n=6。

>> n=6；

A=2*eye（n）；

for i=1：n-1

A（i+1，i）=-1；

A（i，i+1）=-1；

end

>> A

A =

2 -1 0 0 0 0

-1 2 -1 0 0 0

0 -1 2 -1 0 0

0 0 -1 2 -1 0

0 0 0 -1 2 -1

0 0 0 0 -1 2

>> D=det（A）

D =

7.0000

另一方面，注意到多項式理論初步的很多方法筆算比較繁瑣，比如輾轉相除法求最大公因式問題，此時若用MATLAB命令求解，就很快捷。其他類似的計算問題都可以多一些這樣的思考。有了興趣和實踐，就能不斷推進學生使用計算機解決高等代數中計算題的意識，從而有利于數學建模。在遇到問題、嘗試解決問題的過程中，創新思維能力得到了培養和提升。

三、一題多解，融會貫通

在高等代數的練習中，無論證明題還是計算題，筆者都鼓勵學生思考是否可以一題多解。尤其是遇到用課本上介紹的方法來做習題并不簡單的時候。比如在講授利用艾森斯坦判斷法來判別整系數多項式在有理數域上不可約時，介紹了一種間接方法——換元法。教材[6]中以判斷分圓多項式

f（x）=x■+x■+…+x+1（p是素數）

為例，采用x=y+1換元，得到關于y的整系數多項式g（y），此時利用艾森斯坦判斷法可判別g（y）在有理數域上不可約，可證相應的f（x）也在有理數域上不可約。基于此，學生在做課后習題的時候，大都使用了這樣的換元方式，但有個別學生突發奇想，考慮到既然是換元法，就可以采用其他更合適的換元方式。例如：

例3. 判斷多項式f（x）=x■+x■+1在有理數域上是否可約。（教材[6]§2.8，習題1（iv））

此題若設x■=y，則可得g（y）=f（■）=y■+y+1，這是一個p=3的分圓多項式，因此g（y）在有理數域上不可約，從而可知f（x）=x■+x■+1在有理數域上也不可約。

此外，將其他數學課程的內容應用于高等代數的一題多解中，融會貫通。比如，將數學分析里學習的泰勒定理用于解決“將多項式f（x）表成（x-a）的多項式”這樣的問題，在高等代數里，介紹的是反復利用綜合除法。同時，學生還考慮到充分利用函數導數和特殊值來確定待定系數的方法。

通過這樣的引導和討論，學生的學習熱情不斷高漲，思維更加開闊，非常有益于創新思維能力的培養。

四、善于總結，勤于思考

在向量空間相關內容的學習過程中，有很多抽象概念和結論，但是，如果能夠很好地進行整理和總結，并思考如何把內容之間的脈絡理清，不失為打下扎實基礎的很好的學習方式。同樣，對于高等代數中的其他有關聯的章節，都可以進行歸納總結。比如：從將一般的實二次型化為規范形到對稱矩陣的對角化問題，其間包括了如何求方陣的特征值和特征向量，并可進一步判斷二次型和對稱矩陣的正定性。

善于總結，勤于思考，可以激發靈感，促進創新意識和養成喜歡創新的習慣，同時，不斷積累的基礎也使創新能力得到質的提高。

五、結束語

培養大學生的創新能力是落實素質教育、培養高質量應用型人才的重要體現。在“互聯網+”時代，創新創業教育已成為大眾化的高等教育創新發展的必然要求，是現代教育改革的趨勢和高校未來發展的方向。但是培養人才不是一蹴而就的事情，需要多方面的努力。而高校學生更是通過各門課程的學習和參與實踐來提高自己的知識水平、創新能力和實戰能力。通過高等代數教學改革促進創新人才培養是值得探索的一條改革路線，筆者將與同行一道，為增強學生的創新意識和創新能力，提高他們的探索意識和興趣，進一步探索改革的方法，以加深學生對數學知識的理解和擴大學生應用數學解決實際問題的創新能力。

參考文獻：

[1]劉影，等.高校實踐教學管理研究[M].長春：吉林文史出版社，2009.

[2]萬金鳳，馮琴榮.高等代數教學中學生創造性思維能力的培養[J].高等數學研究，2007，10（2）：49-51.

[3]趙靜.高等代數教學中學生創造性思維培養的探索[J].黑龍江科技信息，2008，3：200.

[4]唐放明.高等代數教學中學生創造性思維能力培養研究[J].當代教育實踐與教學研究，2015，（10）：51.

[5]布合力且木·阿不都熱合木，熱孜亞·熱吉甫.高等代數教學中學生創造性思維能力的培養[J].數學學習與研究：教研版，2016，（5）：19-20.

[6]張禾瑞，郝鈵新.高等代數（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007.