空間幾何體中幾種常見的補形法

譚澤仁

【摘要】高考數學中，立體幾何是培養學生的空間想象力的主要素材，也是學生學習的難點，因此在實際教學中，尋求有效的培養學生空間想象力的方法和途徑，是擺在一線教師面前一個很現實的問題.本文將對空間幾何體中幾種常見的補形法予以全面分析，幫助學生樹立空間模型與思想，巧妙破解空間幾何體中的難題.

【關鍵詞】高中數學；立體幾何；補形法

補形法是數學中一種常用的獨特方法，通過補形能夠發現未知幾何體與已知幾何體的內在聯系.這種方法蘊含了一種構造思想，同時也反映了對立統一的辯證思想.

利用補形法解決立體幾何問題的基本步驟是：

第一步：把不熟悉的或復雜的幾何體延伸或補加成熟悉的或簡單的幾何體，把不完整的圖形補成完整的圖形；

第二步：運用常見幾何體的知識等計算結果；

第三步：得出結論.

在高考中，補形法既可以在選擇填空題中體現，也可以在解答題中體現，常見的補形法有對稱補形、聯系補形和還原補形，還原補形主要涉及臺體中“還臺為錐”.下面結合實例進行剖析：

方法一對稱補形

例1（2015·唐山模擬）如圖1所示，△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5.則此幾何體的體積為.

【常規解法】如圖2所示，取CM=AN=BD，連接DM，MN，DN，用“分割法”把原幾何體分割成一個直三棱柱和一個四棱錐.所以V幾何體=V三棱柱+V四棱錐.

由題知三棱柱ABC-NDM的體積為

V1=12×8×6×3=72.

四棱錐D-MNEF的體積為

V2=13×S梯形MNEF·DN=13×12（1+2）×6×8=24，

則幾何體的體積為V=V1+V2=72+24=96.

【補形法】用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱，使AA′=BB′=CC′=8，所以V幾何體=12V三棱柱=12×S△ABC·AA′=12×24×8=96.

【小結】比較上述兩種方法，補形法顯然比分割法要簡潔得多，計算量也很小，但要抓住圖形的對稱性，巧妙的補成熟悉的幾何體，并找到原幾何體與補形后的幾何體的關系，實現化繁為簡的奇效.

【變式訓練1】如圖4所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，將△ADE與△BCE分別沿ED，EC向上折起，使A，B重合，則形成的三棱錐的外接球的表面積為.

【思路】由已知條件知，平面圖形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折疊后得到一個正四面體，如圖5所示.作AF⊥平面DEC，垂足為F，F即為△DEC的中心.再利用三角形相似求出外接球半徑，繼而求出球的表面積.但是，如果考慮到正四面體的對稱性，把它放在正方體中，就可以使問題變得更簡潔.

【解析】由已知條件知，平面圖形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折疊后得到一個正四面體.把正四面體放在正方體中，如圖6所示.顯然，正四面體的外接球就是正方體的外接球.因為正四面體的棱長為1，所以正方體的棱長為22.所以外接球直徑2R=62，所以R=64，所以外接球的表面積S球=3π2.

方法二聯系補形

例2已知三棱錐P-ABC，PA=BC=5，PB=AC=34，PC=AB=41，求三棱錐的體積.

【思路】如按常規求法，需求三棱錐的底面積和高，而高很難求出.由已知三組相對棱相等這一特點，聯想長方體對面不平行的對角線恰好組成對棱相等的三棱錐，因此可把三棱錐P-ABC補成長方體，再將長方體分割成三棱錐P-ABC和四個相同體積的三棱錐.

【解析】分別以三組對棱作為一長方體的相對面的對角線，將原三棱錐補成一個長方體，如圖8所示，則VP-ABC=V長方體-4VP-ABP′.

設長方體長寬高分別為a，b，c，則有：

a2+b2=25，a2+c2=34，b2+c2=41a=3，b=4，c=5

VP-ABC=3×4×5-4×16×3×4×5=20，

所以三棱錐P-ABC的體積為20（立方單位）.

【小結】對對邊相等的三棱錐問題，可以考慮補成長方體來處理，會使問題會簡潔許多.

【變式訓練2】過正方形ABCD的頂點A作PA⊥面AC，設PA=AB，求平面PAB和面PCD所成二面角的大小.

【解析】此圖可補形為正方體ABCD-PQRS，顯然所求二面角即為正方體的對角面PQCD與側面PQBA所成的角，而此角為45°，故所求二面角的大小為45°.

方法三還原補形

例3（2016高考浙江理數）如圖10所示，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

（1）求證BF⊥平面ACFD；

（2）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

【思路】（1）先證BF⊥AC，再證BF⊥CF，進而可證BF⊥平面ACFD；

（2）方法一：先作二面角B-AD-F的平面角，再在Rt△中計算，即可得二面角B-AD-F的平面角的余弦值；方法二：先建立空間直角坐標系，再計算平面ADB和平面ADF的法向量，進而可得二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

【解析】（1）延長AD，BE，CF相交于一點K，如圖11所示.

因為平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此AC⊥BF.又因為EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，

所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點，所以BF⊥CK.

所以BF⊥平面ACFD.

（2）方法一：過點F作FQ⊥AK，連接BQ.因為BF⊥平面ACFD，所以BF⊥AK，則AK⊥平面BFQ，所以AK⊥BQ.所以∠BQF是二面角B-AD-F的平面角.

在△ACK中，AC=3，CK=2，得QF=31313.

在△BQF中，QF=31313，BF=3，得cos∠BQF=34.

所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值為34.

方法二：略.

【小結】在立體幾何中，對于臺體問題，常常采用“還臺為錐”的策略.

【變式訓練3】【吉林省長春市普通高中2017屆高三質量監測（理）】已知三棱錐S-ABC，滿足SA，SB，SC兩兩垂直，且SA=SB=SC=2，Q是三棱錐S-ABC外接球上一動點，則點Q到平面ABC的距離的最大值為.

圖12

【解析】由已知，SA，SB，SC兩兩垂直，可將三棱錐還原補成正方體，其棱長為2，則三棱錐的外接球即正方體的外接球.外接球上到平面ABC距離最大的點應該在過球心且和面ABC垂直的直徑上，因為正方體的外接球直徑和正方體的體對角線相等，即2r=23，故點Q到平面ABC距離的最大值為23（2r）=23（23）=433.

【小結】若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有關元素“還原補形”成為一個球內接長方體，利用4R2=a2+b2+c2求解.

總之，“補形法”是立體幾何中一種常見的重要方法，在解題時，把幾何體通過“補形”補成一個完整的幾何體或置于一個更熟悉的幾何體中，可以巧妙地破解空間幾何體的體積等問題.在應用時注意以下幾點：

1.應用條件：當某些空間幾何體是某一個幾何體的一部分，且求解的問題直接求解較難入手時，常用該法.

2.以下情況，可以考慮將棱錐補成長方體或正方體：

（1）正四面體、三條側棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是直角三角形的三棱錐；

（2）同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐；

（3）若已知棱錐含有線面垂直關系；

（4）若三棱錐的三個側面兩兩垂直.

3.掌握補與割的區別與聯系.兩者既是對立，又是統一的，解題過程中注意兩種方法的有效結合，以達到事半功倍的效果.