一道空間向量題的隨堂演繹

程海龍

摘 要：空間向量為處理立體幾何問(wèn)題提供了新的視角，它是解決空間中圖形的位置關(guān)系和度量問(wèn)題的非常有效的工具，而江蘇高考的附加部分空間向量也是一個(gè)重要內(nèi)容，其中的一個(gè)重點(diǎn)：求空間角，本文以一道題為例，引發(fā)相關(guān)內(nèi)容的復(fù)習(xí)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；空間向量；隨堂演繹

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）13-081-1

【試題呈現(xiàn)】

在四棱錐P-ABCD中，△ABP是等邊三角形，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，E是線段AB的中點(diǎn)，PE⊥底面ABCD，已知DA=AB=2BC=2。

（1）求二面角P-CD-AB的正弦值；

（2）試在平面PCD上找一點(diǎn)M，使得EM⊥平面PCD。

【解法展示】

解：（1）因?yàn)镻E⊥底面ABCD，過(guò)E作ES∥BC，則ES⊥AB。

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB方向?yàn)閤軸的正半軸，ES方向?yàn)閥軸的正半軸，EP方向?yàn)閦軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則E（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），

【錯(cuò)誤提示一】

問(wèn)（1）考查二面角的正弦值，而不是線面所成角的正弦值，學(xué)生不注意細(xì)節(jié)，直接寫(xiě)了64，要提醒學(xué)生仔細(xì)讀題。

【相關(guān)知識(shí)復(fù)習(xí)】

1.相關(guān)空間角的求解方法：（1）求異面直線所成的角：轉(zhuǎn)化為向量與向量的夾角（或其補(bǔ)角）；（2）求直線與平面所成的角θ可先求出平面的法向量n與直線的方向向量l的夾角，有sinθ=|cos〈n，l〉|；（3）求二面角的大小，可先求出兩個(gè)平面的法向量所成的角（或其補(bǔ)角）。

2.將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量計(jì)算問(wèn)題也體現(xiàn)了化歸思想，用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的基本方法（分三步）：（1）向量表示（把立體幾何問(wèn)題中的點(diǎn)、線、面等元素用空間向量表示）；（2）向量運(yùn)算（針對(duì)立體幾何問(wèn)題，進(jìn)行空間向量運(yùn)算）；（3）回歸幾何（對(duì)空間向量運(yùn)算結(jié)果作出幾何意義上的解釋?zhuān)?/p>

3.解題過(guò)程中，學(xué)生必須通過(guò)訓(xùn)練達(dá)到的能力：（1）正確建立空間直角坐標(biāo)系，并且能快速寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)。本題當(dāng)中就有學(xué)生以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，添加z軸建立空間直角坐標(biāo)系，也可，但不方便xOz平面內(nèi)點(diǎn)的表示；（2）能夠靈活運(yùn)用相關(guān)公式，并能正確回答題中的問(wèn)題，就是要看清題目，本題錯(cuò)誤率很高；（3）正確理解線線角，線面角和面面角與向量夾角間的關(guān)系，這對(duì)二輪復(fù)習(xí)的高三學(xué)生問(wèn)題不太大。

【錯(cuò)誤提示二】

問(wèn)（2）很多學(xué)生無(wú)從下手，無(wú)法聯(lián)系相關(guān)知識(shí)。

【相關(guān)知識(shí)復(fù)習(xí)】

要用“探究”“思考”等方式提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生積極思維，對(duì)相應(yīng)內(nèi)容進(jìn)行深入研討。例如：（1）如何用空間向量的形式表示EM⊥平面PCD，學(xué)生自然會(huì)想到EM是平面PCD的法向量從而EM∥問(wèn)（1）中n，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1，z1），有y1=2x1，z1=3x1；（2）如何對(duì)各種幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行恰當(dāng)?shù)南蛄勘硎竞妥鴺?biāo)表示，我們還需要一個(gè)等式才能解出三個(gè)變量，等式從何而來(lái)？學(xué)生想法很多：（ⅰ）利用空間向量基本定理，即將有關(guān)向量用空間的一組基底表示出來(lái)，然后通過(guò)向量的有關(guān)運(yùn)算求解，PM=λPC+μPD學(xué)生能想到（類(lèi)似的CM=λCP+μCD）；（ⅱ）學(xué)生會(huì)想到線面垂直的性質(zhì)定理，有PM⊥n，很多時(shí)候空間向量方法與綜合法是不分家的；（ⅲ）學(xué)生也會(huì)想到等體積法求出EM的模，所以要立足于課本，夯實(shí)基礎(chǔ)，理解和掌握課本中的基本概念和基本運(yùn)算，學(xué)生的能力是無(wú)限的。不同學(xué)生的思維風(fēng)格和解決問(wèn)題的習(xí)慣是不同的，比如分析型思維風(fēng)格的學(xué)生傾向于從局部到整體的解決問(wèn)題的方式，綜合型思維風(fēng)格的學(xué)生則恰好相反。學(xué)生應(yīng)當(dāng)根據(jù)個(gè)人的學(xué)習(xí)習(xí)慣、思維風(fēng)格等選擇自己的方法。空間向量也需要綜合法的幫助。要鼓勵(lì)學(xué)生靈活運(yùn)用空間向量方法和綜合法，這樣可以幫助學(xué)生全面發(fā)展。

【教學(xué)反思】

1.重視空間角的計(jì)算，異面直線所成角要注意范圍，線面所成角，二面角要注意轉(zhuǎn)化。要看清題目求得是哪類(lèi)角再動(dòng)筆。

2.邏輯證明和空間向量有機(jī)結(jié)合，把幾何邏輯推理和向量的代數(shù)運(yùn)算有機(jī)結(jié)合起來(lái)，為多角度展開(kāi)解題思路提供廣闊的空間。強(qiáng)調(diào)空間向量方法與綜合法的鏈接，相互滲透，相互促進(jìn)，共同使用。