淺談數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用技巧

高成語

摘要：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的一種重要且實(shí)用的思想與方法，尤其是在數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用具有明顯的優(yōu)勢，其對于提升學(xué)生解題能力、速度以及正確率具有積極的作用。本文就以高中數(shù)學(xué)為例，對數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用技巧進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用技巧

數(shù)字與圖形是數(shù)學(xué)的重要載體與表達(dá)工具，基于兩者的本質(zhì)，決定了兩者之間存在著密切的聯(lián)系；而高中數(shù)學(xué)重要的兩個(gè)分支課程“代數(shù)與幾何”則進(jìn)一步證明了數(shù)與形的天然聯(lián)系，故而也就產(chǎn)生了數(shù)形結(jié)合思想[1]。而數(shù)形結(jié)合則主要應(yīng)用于對抽象數(shù)學(xué)問題的解決，通過借助圖形所具有的良好表達(dá)能力，將數(shù)學(xué)關(guān)運(yùn)用圖形直觀、形象地表現(xiàn)出來。因此，將數(shù)形結(jié)合應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)中，需要做到“以形助數(shù)”，實(shí)現(xiàn)數(shù)到形——形到數(shù)的一一對應(yīng)轉(zhuǎn)化，從而將學(xué)生的思維邏輯與空間思維相互結(jié)合，優(yōu)化數(shù)學(xué)解題過程[2]。下面筆者將以高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的集合問題、函數(shù)問題以及證明題為例子，簡單分析數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用技巧。

一、數(shù)形結(jié)合在集合問題中的應(yīng)用

集合是高中數(shù)學(xué)最基本的知識(shí)點(diǎn)，通過觀察集合的內(nèi)在關(guān)系（交集、并集、補(bǔ)集）以及表達(dá)形式（例如{A，B，C}），都蘊(yùn)含著圖形特點(diǎn)。因此，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決集合問題，能夠?qū)?shù)學(xué)的關(guān)系轉(zhuǎn)化成具體的圖形關(guān)系，讓學(xué)生能夠更直觀、更具體地認(rèn)識(shí)集合之間存在的包含、交叉等關(guān)系。而在應(yīng)用圖形解決集合問題時(shí)，最為常用的圖形表達(dá)方法主要有數(shù)軸與韋恩圖；通常前者主要是應(yīng)用在相對模糊的集合問題上，例如：在對A、B兩個(gè)集合的包含關(guān)系進(jìn)行條件判定過程中，涉及了不等式的運(yùn)算，此時(shí)就可以將這兩個(gè)集合之間的關(guān)系反映在數(shù)軸上進(jìn)行標(biāo)注[3]。

而韋恩圖則多用于解決具體化的集合問題，特別是數(shù)型集合問題。例如，在以下這道集合問題中：在一次物理競賽中，一共有甲、乙、丙三道題，競賽參加人數(shù)有25人，在三道題中，每位參賽者至少選做1題；已知在未解出甲題的參賽者中，能夠解出乙題的為解出丙題人數(shù)的2倍，而甲題解出的人數(shù)比余下人數(shù)多1，所有只解出1道題的參賽者中，只有一半解出甲題；問有多少參賽者解出乙題？在道數(shù)學(xué)題中，從文字的敘述上看相對復(fù)雜，對于邏輯關(guān)系分析能力較差的學(xué)生而言，要想解答此道題，相對困難。因此，針對這一題，教師可以運(yùn)用韋恩圖將題目的邏輯關(guān)系直觀的表達(dá)出來：分別應(yīng)用3個(gè)圓表示解出甲、乙、丙三道題的人數(shù)，運(yùn)用A、B、C作為區(qū)域代數(shù)符號(hào)，分別表示甲、乙、丙三道題的解出人數(shù)；而后再利用a、b、c、d、e、f、g表示被分割的小區(qū)域，以進(jìn)行劃分；最后根據(jù)題目敘述進(jìn)行數(shù)式的逐一羅列、轉(zhuǎn)化，最終轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生相對熟悉的代數(shù)式計(jì)算（見圖1）。

二、數(shù)形結(jié)合在函數(shù)問題中的應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，在函數(shù)問題中，函數(shù)極值是最為常見、同時(shí)也是高中數(shù)學(xué)考察的主要內(nèi)容，更是高考的重點(diǎn)知識(shí)。通常，學(xué)生在解決一些相對簡單的函數(shù)極值問題時(shí)，可以利用數(shù)學(xué)公式、基本不等式等進(jìn)行解答；但對于一些相對復(fù)雜的函數(shù)極值問題時(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，將數(shù)字化內(nèi)容轉(zhuǎn)換成圖形語言，能夠有效避免純數(shù)理計(jì)算的復(fù)雜性，使數(shù)學(xué)問題在圖形關(guān)系的描述下更為直觀，使學(xué)生從傳統(tǒng)繁雜的計(jì)算中解放出來，省去了大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算，從而更容易得到問題答案。

例如，在這樣一道函數(shù)極值問題中：已知x2+y2+2x=0，求（x-1）2+（y+1）2的最小值。這一題如果應(yīng)用傳統(tǒng)的方法進(jìn)行解答，我們首先需要根據(jù)前面的一個(gè)方程式求出x與y的關(guān)系或者是取值范圍后，才能對后面需要解答的函數(shù)極值問題進(jìn)行運(yùn)算。而這樣的計(jì)算方式往往會(huì)使得學(xué)生在運(yùn)算時(shí)，忽略了x與y的共存性，在取值時(shí)很容易偏向兩者單一存在的情況，使得答案擴(kuò)大化。在這道題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式，能夠?qū)與y的共存性表現(xiàn)出來，通過將兩個(gè)函數(shù)圖像放在坐標(biāo)系中進(jìn)行直觀的表達(dá)，從而將極值問題轉(zhuǎn)變?yōu)閳D像關(guān)系問題，其實(shí)也就是距離問題，最終能夠結(jié)合直觀的圖像進(jìn)行簡單的單數(shù)運(yùn)算，從而得到問題答案（如圖2所示）。

三、數(shù)形結(jié)合在證明題中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，坐標(biāo)系的引入，不僅拓寬了數(shù)學(xué)知識(shí)的圖像表達(dá)空間，同時(shí)，基于函數(shù)圖像下，進(jìn)一步推動(dòng)了數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[4]。而高中數(shù)學(xué)中，解方程（組）或不等式（組）是最為常見的證明題，同時(shí)也是歷年高考數(shù)學(xué)必考的重點(diǎn)。對于不等式的證明，方法很多，學(xué)生在解題過程中，必須做到具體問題具體分析。而對于一些相對復(fù)雜的不等式證明問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行分析，能夠取得更為鮮明的效果，使不等式問題在圖形分析下更容易被證明。

例如，在以下這道證明題中：假設(shè)a、b、c、d皆為正數(shù)，并且ab=cd，求證：a+bc+d=a2+b2c2+d2.在這樣一道證明題中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行求證，具體步驟如下：

證明：由ab=cd，a2+b2以及c2+d2，能夠作出兩個(gè)相似的直角三角形.

假設(shè)a≥c，可作一個(gè)直角三角形△ABC，使得∠C=90°，而BC=a、AC=b，在△ABC的BC邊上取一個(gè)D點(diǎn)，使BD=c，而后過D點(diǎn)作一條垂直于BC的直線DE，使DE⊥BC并交AB于E點(diǎn)，具體圖像如圖3所示，進(jìn)而使得△ABC∽△EBD.

由于BCAC=BDDE，所以ab=cDE；再由ab=cd，故而DE=d.

此時(shí)，在BC作延長線CF，使CF=AC，再于直線BC處取G點(diǎn)，使DE=DG，最后連結(jié)EG、AF，能夠證明△EDG∽△ACF.

由此可以證明：BFBG=BABE，所以a+bc+d=a2+b2c2+d2.

通過圖形結(jié)合的方式，使得證明過程變得形象化、直觀化和具體化，在降低學(xué)生解題難度的同時(shí)，更便于學(xué)生對知識(shí)的理解與掌握，在提升學(xué)生解題能力的同時(shí)，提升其對數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力。

四、小結(jié)

除了上述所列舉的三方面數(shù)學(xué)問題的運(yùn)用以外，數(shù)形結(jié)合還能夠應(yīng)用于復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、以及立體幾何等數(shù)學(xué)問題的解題中。總而言之，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的滲透，向?qū)W生傳授數(shù)形結(jié)合在解答數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用技巧，通過提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力、數(shù)學(xué)知識(shí)水平以及數(shù)學(xué)應(yīng)用等數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊建珍.淺談數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用技巧[J].科學(xué)咨詢（教育科研），2016（08）：87.

[2]呂群英.數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探討[J].高考，2017（15）：128.

[3]劉志英.淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2014（13）：153.

[4]柯張軍.淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊，2016（Z2）：43-45.

（作者單位：安徽省明光市第三中學(xué)239400）