由實(shí)驗(yàn)的發(fā)生談幾何概型測(cè)度的選擇

劉霞

摘要：本文談了幾何概型測(cè)度的選擇。希望能給我們的教學(xué)帶來(lái)幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；幾何概型測(cè)度；選擇

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）01-0097

一、緣起

在本學(xué)期開(kāi)學(xué)初的模塊解讀教研活動(dòng)中，我校的陳校長(zhǎng)對(duì)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《必修三》的概率部分做了整體解讀，提到自己當(dāng)年在講授幾何概型時(shí)的一次經(jīng)歷，一道幾何概型習(xí)題他將實(shí)驗(yàn)的測(cè)度由角度錯(cuò)選為線段的長(zhǎng)度，導(dǎo)致求錯(cuò)，但為什么選角度，卻一直困擾著他。直到一年后，一個(gè)偶然的機(jī)會(huì)他才真正把原因弄明白。教師尚且如此，那對(duì)于剛接觸此類(lèi)問(wèn)題的學(xué)生更是不好把握，尤其在考場(chǎng)上，學(xué)生精神緊張，考試時(shí)間又有限，所以快速找到解題的突破口，就顯得尤為重要。于是會(huì)后筆者找到這個(gè)習(xí)題，就這一類(lèi)問(wèn)題認(rèn)真梳理，并形成了自己的一些想法。

二、問(wèn)題及解決策略探討

幾何概型與古典概型是概率論中的基礎(chǔ)概率模型，二者的每個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是等可能的；古典概型基本事件個(gè)數(shù)只有有限個(gè)，是可數(shù)的，學(xué)生通過(guò)列舉可以說(shuō)是看得見(jiàn)、摸得著的，但幾何概型的基本事件卻是無(wú)限的，需要對(duì)原始條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，建構(gòu)準(zhǔn)確合理的基本事件的空間測(cè)度，來(lái)簡(jiǎn)化概率計(jì)算過(guò)程。但是有些看似“等價(jià)”的轉(zhuǎn)化，最終卻得到了不同的答案，使人們產(chǎn)生困惑，也使我們?cè)谧鲱}時(shí)不敢輕易給出結(jié)論，左右為難，難以下手。比如我們常見(jiàn)的以下問(wèn)題：

問(wèn)題1：如圖所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD= ，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM<1的概率。

問(wèn)題2：如圖所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD= ，在線段BC上找一點(diǎn)M，求BM<1的概率。

比較以上兩個(gè)問(wèn)題其他條件不變，只是將“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M”改為“在線段BC上找一點(diǎn)M”，這就導(dǎo)致很多人將這兩題混為一談，測(cè)度都認(rèn)為是線段BC，而將問(wèn)題1錯(cuò)解為問(wèn)題2的答案，認(rèn)為P= = = 但事實(shí)并非如此，正因?yàn)檫@一小小的改動(dòng)，兩個(gè)問(wèn)題的情景截然不同，實(shí)驗(yàn)發(fā)生的背景發(fā)生了巨大的變化。解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍。當(dāng)考察對(duì)象為點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用線段長(zhǎng)度比計(jì)算；點(diǎn)的活動(dòng)范圍構(gòu)成平面區(qū)域或空間區(qū)域時(shí)，就用面積比或體積比來(lái)計(jì)算；當(dāng)考察對(duì)象為線時(shí)，一般用角度比計(jì)算。但無(wú)論選擇哪種測(cè)度解題，都要緊扣幾何概型的定義及兩大特征。即：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型。幾何概型中事件A的概率計(jì)算公式P（A）= 它的兩大基本特征一是基本事件有無(wú)限多個(gè)，二是基本事件的等可能性。定義要求實(shí)驗(yàn)中事件的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的測(cè)度（長(zhǎng)度、面積、角度、體積等）有關(guān)，而與它的位置及形狀無(wú)關(guān)，保證基本事件的等可能性是求幾何概型求解最基本的要求。讓我們回顧剛才的問(wèn)題，問(wèn)題2中的實(shí)驗(yàn)是直接在BC上取點(diǎn)，考察對(duì)象是點(diǎn)，點(diǎn)的活動(dòng)范圍是線段BC，所以實(shí)驗(yàn)測(cè)度為線段的長(zhǎng)度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果是等可能的，而問(wèn)題1中是在∠BAC內(nèi)作射線AM，AM與BC相交得點(diǎn)M，兩者進(jìn)行的不是同一個(gè)實(shí)驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)M是由射線AM引發(fā)的，AM的動(dòng)引起點(diǎn)M的動(dòng)，所以此時(shí)若以點(diǎn)M為考察對(duì)象，它就不會(huì)在BC邊上等可能地分布。原因如下：設(shè)∠BAM=α則由正弦定理得： = ， BM=sin60°AM，BM與AM不成正比，故當(dāng)點(diǎn)M由B到C變化時(shí)，兩者變化的速率不同，導(dǎo)致AM等可能變化時(shí)BM卻不能等可能變化。所以以線段BM的長(zhǎng)度作為事件的測(cè)度是不合理的。那么正確的解法是什么呢？讓我們不妨回到實(shí)驗(yàn)本身，看實(shí)驗(yàn)是如何發(fā)生的，在直角的內(nèi)部任意引射線AM，頂點(diǎn)是A，相當(dāng)于AM繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖所示AM的旋轉(zhuǎn)軌跡，發(fā)現(xiàn)AM會(huì)覆蓋，所以實(shí)驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椤螧AC，事件BM<1的區(qū)域即為∠BAD。所以正解如下：

【解】 ∵∠B=60°，∠C=45°，∴∠BAC=75°，

在Rt△ADB中，AD= ∠B=60°，

∴BD= =1，∠BAD=30°.

記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時(shí)事件N發(fā)生.

由幾何概型的概率公式得P（N）= =

因此，我們掀起幾何概型的“蓋頭”，發(fā)現(xiàn)雖然它將古典概型的有限性推廣到無(wú)限性，但是保證基本事件的等可能性卻是一樣的，因此要把握好幾何概型的“測(cè)度”，不能改變基本事件的性質(zhì)。這一點(diǎn)在貝特朗悖論的解法中也得到了很好的印證。讓我們回顧一下貝特朗問(wèn)題及其四種解法：半徑為1的圓內(nèi)，隨機(jī)取一條弦，求該弦長(zhǎng)度超過(guò)圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)的概率。

解法1：任取一弦AB ，作垂直于AB 的直徑PQ 。過(guò)點(diǎn)P 作等邊三角形，交直徑于N ，易證N為OQ的中點(diǎn)，弦AB的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，并取OP 的中點(diǎn)M。所有與PQ 垂直的弦，與MN 相交時(shí)，其弦心距均小于ON ，則該弦長(zhǎng)度就大于等邊三角形邊長(zhǎng)，故所求概率P（弦長(zhǎng)度超過(guò)圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)）= 。

解法2：首先確定一個(gè)點(diǎn)A，將其視為定點(diǎn)，而另外一個(gè)點(diǎn)P的位置不定。那么就轉(zhuǎn)化成如右圖的情形，那么P點(diǎn)的位置可以由弧AP的長(zhǎng)度決定。P點(diǎn)本來(lái)可以在圓上任意位置。則總測(cè)度為2π，要使弦長(zhǎng)大于圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則P點(diǎn)只能在弧BC上，則事件“弦長(zhǎng)度超過(guò)圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)”測(cè)度為 ，故P（弦長(zhǎng)度超過(guò)圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)）= 。

解法3：考慮弦的中點(diǎn)。對(duì)于長(zhǎng)度大于內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)的弦，這個(gè)中點(diǎn)必定落在一個(gè)半徑為原來(lái)一半的同心圓內(nèi)。這個(gè)新圓的面積只有原來(lái)那個(gè)圓的1/4，因此所求的概率為1/4。

解法4：讓我們?cè)O(shè)想把所有能作為弦的線段放在一起，它的長(zhǎng)度從0到d（即圓的直徑長(zhǎng)度）。那些符合要求的弦其長(zhǎng)度將落在 d與d之間，因此概率是 。

以上四種不同的解法，當(dāng)思考問(wèn)題的角度不同時(shí)，取弦的方法不同，實(shí)際上采用了不同的等可能性假設(shè)，相當(dāng)于進(jìn)行了四種不同的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，在第一種解法中過(guò)一條直徑上的點(diǎn)作直徑的垂線，弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布；在第二種解法中確定一個(gè)點(diǎn)A，視為定點(diǎn)另外一個(gè)點(diǎn)P在圓上任意選取，P在圓周上均勻分布；第三種解法中又假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布；第四種解法中所有能作為弦的線段放在一起，長(zhǎng)度從0到d是均勻分布的；所以我們?cè)诮鉀Q幾何概型問(wèn)題時(shí)明確實(shí)驗(yàn)是如何進(jìn)行的，由實(shí)驗(yàn)本身出發(fā)找事件的構(gòu)成，更容易把握準(zhǔn)事件的測(cè)度，確保事件的等可能性，避免錯(cuò)誤的發(fā)生。

（作者單位：山東省泰安第一中學(xué) 271000）