談高考數列熱點：一類求和問題的探究

孫永彬

摘要：本文利用“裂項相消”模型探究了高考數列熱點——求和問題。希望能有利于數學教學效率的提高。

關鍵詞：高考數學；數列熱點；求和問題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）01-0122

在近幾年的高考數列試題中都有考查與數列有關的不等式問題，表面是證明數列不等式，實質是數列求和，若可直接求和，就先求和再放縮；若 ai不能直接求和的，一般要先將通項an放縮后再求和。問題是將通項an放縮為可以求和且“不大不小”的什么樣bn的才行呢？所謂“放大一點點就太大，縮小一點點又太小”，這就讓同學們找不到頭緒，摸不著規律，總覺得高不可攀！高考命題專家說：“放縮是一種能力。”如何把握放縮的“度”，使得放縮“恰到好處”，這正是放縮法的精髓和關鍵所在！其實，任何事物都有其內在規律，放縮法也是“有法可依”的，其實，能求和的常見數列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、錯位相減模型、裂項相消模型等。

本文筆者將數列問題中一些常見的如何通過放縮轉化“裂項相消”模型作其歸納，破解其思維過程，揭開其神秘的面紗，領略和感受“裂項相消”模型的無限魅力！

題型1. 通項可直接用裂項相消法求和，然后再放縮.

例1. 求證： + + +…+ < （n∈N+）

分析：左邊可用裂項相消法求和，先求和再放縮.

∵ = （ - ）

∴左邊= [（1- ）+（ - ）+…+（ - ）]= （1- ）<

題型2. 通項不可直接用裂項相消法，應先將通項放縮為裂項相消模型后求和，然后再放縮，以下對通項an= 的幾種放縮為裂項相消模型

模型1. - = < = < = -

模型2. < = = （ - ）

模型3. = < = =2（ - ）

例2. 1+ + +…+ <2（n∈N+）

分析：左邊不能求和，應先將通項放縮為裂項相消模型后求和.

當n≥2時，∵ = < = -

∴左邊<1+[（1- ）+（ - ）+…+（ - ）]=1+1- <2（n≥2）

當n=1時，不等式顯然也成立.

變式1. 求證：1+ + +…+ < （n∈N+）

分析：變式1的結論要比例2的強，要達目的，須將變式1放縮的“度”進行修正，如何修正？

方法一：將例2的通項從第三項才開始放縮即保留前兩項，從第三項開始放縮

當n≥3時，∵ < = -

∴左邊<1+ +（ - ）+…+（ - ）=1+ + - = - < （n≥3）

當n=1，2時，不等式顯然也成立.

方法二：將通項放得比例2更小一點，即：當n≥2時，

∵ < = （ - ）

∴左邊<1+ [（1- ）+（ - ）…+（ - ）]=1+ （1+ - - ）<1+ （1+ ）= （n≥3）

當n=1時，不等式顯然也成立。

變式2.求證：1+ + +…+ < （n∈N+）

分析：變式2的結論比變式1更強，要達目的，須將變式2放縮的“度”進一步修正，如何修正？

方法一：將變式1方法二中通項從第三項才開始放縮.

當n≥3時，∵ < = （ - ）

∴左邊<1+ + [（ - ）+（ - ）+…+（ - ）=1+ + （ + - - ）<1+ + （ + ）=

當n=1，2時，不等式顯然也成立.

方法二：將通項放縮的比變式1方法二更小一點.

當n≥2時，∵ = < = =2（ - ）

∴左邊<1+2[（ - ）+（ - ）+…+（ - ）]=1+2（ - ）<1+2· =

當n=1時，不等式顯然也成立.

【例2小結】對an= 放縮方法不同，得到的結果也不同.顯然 < <2，故變式2比變式1更強，也就是說如果證明了變式2，那么例2和變式1就顯然成立. 對an= 的3種（上接第122頁）放縮方法體現了三種不同“境界”，得到 的三個“上界”，其中 最接近 = （歐拉常數）。

【方法總結】

放縮法證明與數列求和有關的不等式的過程中，很多時候要“留一手”， 即采用“有所保留”的方法，保留數列的第一項或前兩項，從數列的第二項或第三項開始放縮，這樣才不致使結果放得過大或縮得過小.

模型4. an= < = （ - ）

例3.（08年.遼寧卷）

已知an=n（n+1），bn=（n+1）2，求證： + +…+ <

證明：當n≥2時∵ = < = （ - ）

∴ < + （ - + - +…+ - ）= - <

當n=1時，有 < 也成立.

模型5. = < = = - （n≥2）

例4. 已知數列{an}中，an= ，求證： ai（ai-1）<3

ai（ai-1）<2+（ + ）+…+（ - ）=3- <3（n≥2）

當n=1時，有2<3也成立.

模型6. 2（ - ）= < = < =2（ - ）

例5. 求S

分析：式子不能直接求和，須將通項 放縮為裂項相消模型后求和，為了確定S的整數部分，必須將S的值放縮在相鄰的兩個整數之間.

2（ - ）= <

= < =2（ - ）

18<2（ -1）<1+ + +…+ <1+2（ -1）=19

S的整數部分是18

模型7. ∵2n-1=（1+1）n-1=（C0n+Cn1+Cn2+…）-1>Cn1+Cn2=

∴ < =2·（ - ）（n≥3）

在近幾年的高考數列試題中，考查與數列有關的不等式問題一直受命題者的青睞，是熱點之一，但技巧性要求較高，是學生的難點之一。因此，在教學過程中，我們不但要教給學生知識，還應注重對解題方法的總結，方可跳出“題海”從而提升學生的思維能力，并且培養學生的思辨能力，希望上面的方法能對大家的學習有所幫助。

（作者單位：浙江省溫州市第二十二中學 325000）