案例式教學法在線性代數課程中的應用

吳國麗

摘 要：高校線性代數教學一般采用的是教師講解、學生聽講的模式，這種重理論、輕實踐的教育模式，難以順應新課改需求。想要實現線性代數教學質量的提升，需要強化案例式教學的應用。在案例分析的基礎上，實現學生發現問題能力、分析問題能力、解決問題能力的培養與提升。文章首先分析了案例教學法在線性代數教學中的作用，同時闡述了線性代數教學中案例教學模式的應用，最后總結了全文，旨在為提升線性代數教學質量提供參考性意見。

關鍵詞：線性代數；案例式教學；教學應用

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）20-0102-03

Abstract： The teaching of linear algebra in colleges and universities generally adopts the mode of teacher explanation and student listening. This kind of theory and light practice education mode is difficult to comply with the new curriculum reform needs. In order to improve the teaching quality of linear algebra， it is necessary to strengthen the application of case teaching. On the basis of case analysis， students will be able to develop and improve their ability to discover problems， analyze problems， and solve problems. The article first analyzes the role of case teaching method in linear algebra teaching， and expounds the application of case teaching mode in linear algebra teaching. Finally， it summarizes the full text and aims to provide reference for improving the quality of linear algebra teaching.

Keywords： linear algebra； case teaching method； teaching application

學生在線性代數學習中，存在著難以掌握知識點的特點，不管是教師還是學生均需要明確線性代數學習中的重點與難點知識，采取有效措施，促使抽象的知識形象化。在大學數學公共課程教學中，教師需要實現教學方式的創新，比如：案例教學法、翻轉課堂教學法等，綜合考慮學生的個性化差異，因材施教，本文主要探討的是案例教學法在線性代數教學中的應用。

一、案例教學法在線性代數教學中的作用

將案例教學方式應用在線性代數教學中，主要體現為引入概念、聯系實際、展示應用、提升興趣等，為降低學生與課程知識之間的距離，需要強化學生問題分析能力的提升，強化教材內容與實際問題之間的聯系，促使學生認知到線性代數課程的重要性，以謹慎的態度去學習線性代數知識，不斷完善自身的知識結構，實現自身數學素養的提升。結合相關資料，案例教學法在線性代數教學中的作用主要如下：

（一）激發學生學習興趣

通過引入適當的案例，合理應用語言可激發學生的學習興趣，大部分的案例引入均可達到激發學生學習興趣的最終目的。案例引入一般只會占據幾分鐘的課堂時間，學生通過順利應用某一概念，在課堂學習中能夠始終貫穿案例。將課程知識點與案例相互融合，全面激發學生學習線性代數的興趣。在實際課程教學中，教師通過恰到好處的應用案例，能夠促使學生感受到課程的重要性與應用性，進而全身心的投入到學習中。

（二）簡化教材知識難度

由于線性代數案例與實際應用背景之間有著密切的聯系，因此，需要遵循以學生專業知識為基礎的原則。由于大學低年級學生對線性代數知識儲備較少，均屬初次接觸線性代數知識，教師想要借助課堂上的幾十分鐘讓學生全部掌握知識點難度較大，學生也很難全面理解。由于線性代數課程內的知識點已經固定化，是近代數學家們的知識結晶。在工程實際應用中，線性代數知識也在不斷更新與變化，受到各類因素的影響，教師很難與時俱進，進而無法保障線性代數教學的有效性。在線性代數教學中，通過應用案例教學方式，以故事的形式引入案例，促使學生明確其中的核心內容，學生在腦海中能夠形成清晰的知識結構，明確就自己而言，哪些屬于重難點知識，哪些屬于基礎知識，不斷加深學生對線性代數知識的印象。

（三）促使抽象知識形象化

線性代數學時相對較短，從學生的實際反饋而言，屬于一門難懂、難學的數學基礎課程。線性代數課程對學生的學習造成了較大的學習難度，線性代數知識的特點為系統性，前后知識之間有著非常緊密的聯系，知識的概念性也相對較強，對學生的邏輯能力、抽象能力有很高的要求。在線性代數課程中，向量組的線性相關與線性無關屬于抽象性的內容，學生認為此部分內容與實際生活之間的聯系性不強，完全屬于一種數字游戲。在教學中利用應用案例教學方式，可促使抽象的知識形象化，不斷簡化線性代數內容的難度。在線性代數教學中應用案例教學方式，能夠實現學生學習興趣的激發，加深學生對知識點的理解與掌握，逐步強化學生對問題的分析和解決能力。

二、線性代數教學中案例教學模式的應用

線性代數教學中應用案例教學方式，可重現一些生活場景，促使學生將自己納入到案例場景內，通過應用探討、研討的方式，引導學生開展線性代數知識的學習。線性代數教學中案例教學模式的應用主要如下：

（一）矩陣計算的應用

矩陣計算在線性代數教學中占比較大，由于此部分知識比較繁瑣，想要實現解題速度與解題效率的提升，需要合理應用案例教學模式，構建形象的知識結構，精準開展解題工作。

例如：基于加密傳輸基本原理的基礎上，每個字母需要對應一個數字，在信息傳輸中，傳輸信息為“it is a secret”，傳輸者需要在信息的基礎上，用矩陣表達對應的數字信息。一般按照4×4的矩陣排列方式，A= 9 20 0 919 0 1 019 5 3 18 5 20 0 0，其中數據并不是加密信息，在實際應用并不可行。教師在此階段可加入一些關于密鑰的知識與破譯方式，引入一些實際的案例，促使學生將抽象的知識形象化。由于加密方式相對較多，教師可從簡單的入手，逐步深化教學難度。首先，需要取一個4×4可逆的矩陣，X=1 2 3 44 1 2 33 4 1 22 3 4 1，假設B=XA，B=124 108 132 156115 150 105 8011 7 7 1563 72 45 90。在發送了加密信息B后，接受者需要在A=X-1B的基礎上開展解密工作。

由于此部分涉及的是一些較為簡單的加密傳輸，在實際應用中，信息加密方式較為復雜。通過應用案例教學方式，可將抽象的知識形象化，引導學生更好的開展矩陣計算，掌握線性代數知識，不斷提升自身的數學素養，完善自身的線性代數知識結構。

教師在案例引入過程中，可要求學生以小組為單位，自行模擬一個加密信息，并將具體的解題流程展示出來。只有學生親身投入到實踐案例中，才可加深對知識的認知，明白自身學習中的不足之處，以此采取針對性的解決措施，不斷完善自身的知識結構，掌握更多的線性代數知識點，為自身后期的發展奠定基礎。

（二）矩陣對角化的應用

知識與行動均是學生活動的關鍵點，在線性代數知識點教學中，教師需要合理創設問題情境，在線性代數知識點教學主題的基礎上，遵循相應的生態原則。端正態度，強化教學引導，合理設置提問情境，滲透感情因素，實現學生核心素養的提升。切實將案例教學方式的作用凸顯出來，提升線性代數知識點課堂教學質量與教學效率。

在甲、乙兩個不同的地區里，甲地每年遷入乙地的人數為30%，乙地每年遷入甲地的人數為20%。假設甲地的人口總數為60萬，乙地人口總數為40萬。若是兩地的總人數不變，在5年之后，甲地、乙地的人口數分別為多少？經過多少時間后，兩地的人數能夠趨于穩定狀態？

就這一問題的解答，可適當引入一些與題目相類似的經典題型解答方，促使學生在腦海中構建清晰的解題思路。教師可以居住地域與學生家鄉為例，促使學生能夠在腦海中構建形象的地形。接著提出問題：（1）甲乙兩地在第一年后的人口數分別為多少？（2）甲乙兩地在第五年后的人口數分別為多少？（3）甲乙兩地在第n年后的人口數分別為多少？通過將解題流程轉化為問題的形式，可促使學生更好的對號入座，更好的開展解題。

首先，需要計算出甲乙兩地在第一年后的人口，經過計算甲乙人口均為50人。接著，將第一年兩地人口總數列入到矩陣內，0.7 0.20.3 0.86040=5050，其中令A=0.7 0.20.3 0.8， x=6040。其次，則在第5年甲乙兩地人口為A5x。為了將A5計算出來，可以將A對角化。矩陣A的特征值為1， 。與之對應的特征向量為[2，3]T，[1，-1]T，相似變換矩陣P=2 13 -1，因此，A=P1 00 P-1，經計算可得第5年后，甲地的人口為40.625萬人，乙地的人口為59.375萬人。最后，計算第n年后的人口，在很長一段時間內，甲乙兩地的人口會逐漸趨于穩定，其中甲地人數為60萬人，乙地人數為40萬。

（三）線性組合的應用

案例教學法在線性組合教學中的應用，能夠簡化題目難度，促使學生理清學習思路，更好地開展解題，掌握相應的知識。在教學過程中，教師也可強化案例教學法與其他教學法之間的聯合應用，為學生創建真實、有效的教學情境，以此確保線性代數教學工作的有序開展。

例如：在某圖書館內，假設閱讀的人數為n+1，閱讀書籍的類型為n。其中每人需要閱讀其中一種類型的書籍，從n+1個人中找出兩組人，閱讀的書籍種類完全相同。在這類題的解答中，首先可以建立n維列向量ai=[ai1 ai2 … ain]T，其中i=1，2，…，n+1。在第i個人閱讀記錄中，若是看到了第 j種書籍，則ai1=1，若還未看第j種書，則ai1=0，其中的向量ai屬于非零向量。

針對這類情況，教師可先借助多媒體展現出相應的畫面，接著引導學生展開分析。為確保學生能夠形成更加形象的畫面，教師可開展情境演練，拿來相應的書籍，開展分析。接著引導學生開展解題，分析可能出現的情形，確定出最終的解題思路，進而能夠迅速的解題。為確保案例引入的真實性與合理性，教師可強化多媒體技術的應用，引入VR、電子畫板等現代化教學手段，為學生構建真實的案例情境，以此確保學生線性代數學習的有序開展。

案例教學的應用相對較多，比如：構造幻方，幻方的形狀與矩陣的形狀一致，也是典型的應用案例。各類有趣的案例，能夠促使學生認識到線性代數知識的重要性，了解線性代數知識的應用性，體會到線性代數知識的樂趣，切實利用線性代數知識解決實際應用問題，擺脫乏味的數學氛圍。在線性代數教學中，為確保教學效率，教師可適當引入案例教學方式，促使學生舉一反三，更好的開展線性代數相關知識的學習，采取有效措施，開拓學生的視野、擴展學生的知識面，實現學生線性代數知識的應用能力，切實解決線性代數教學中的難點與重點知識。

三、案例教學法應用反思

在案例式教學的應用中，針對大量相似案例，若無法實現案例創新，教師也不必沮喪，可強化各類案例的應用，以此達到理想的教學效果。針對學生初期接觸線性代數知識，學生并沒有足夠的時間去了解課外案例、查閱相應的書籍，因此就初次接觸線性代數的學生而言，即便是幾年前的陳舊案例，也會引起較大的興趣。

由于舊有的線性代數教學方式已經根深蒂固，教師在案例教學方式的應用中還存在著很大的差異性，有些案例教學方式的應用效果并不顯著。院校在強調“自主學習、培養創新、注重發散”教學理念的同時，還需要設置一些具有思考意義的題目。在案例教學法應用中，按照三七比例，其中案例分析占7分，剩下的3分讓學生自主學習，促使學生自由發揮，這類教學設置可實現線性代數教學質量的提升，確保線性代數教學的有效性。

在教學理念設計中，不僅要求備課精細、新穎，還需要在案例中融入一些與時俱進的信息，為學生構建良好的知識獲取渠道。在備課與講課過程中，需要結合學生的知識儲備情況，在學科專業性的特點上，綜合考慮學生習慣、心理上的差異性，確保每個案例講解的科學性與合理性，最大化課堂教學效果。

在線性代數知識教學中，教師需要強化學生的實踐訓練，在線性代數知識課程教學中，通過構建實踐教學情境，可實現學生對線性代數知識的理解。就學生而言，在線性代數知識理解上難度較大，如何將出現的線性代數知識形象化成為首要解決問題。教師需要強化實踐訓練，拉近課堂教學、文本與生活之間的聯系，開發校本資源。教師在教學過程中，還需要強化本土資源、學校內部資源的應用，整合各類教學資源，使得線性代數知識教學中，教師與學生之間可產生心靈共鳴，不斷增加實踐課程比重，確保線性代數知識教學的有效性。強化校內資源的應用，提升案例教學質量，凸顯出案例教學方式在線性代數知識教學中的作用。

需要注意的是，在案例教學方式的應用中，要確保案例的精簡，強化案例與教材內容的契合。一般情況下，每個知識點引入一個案例即可，只有精簡的案例學生才可明白其中的核心內容，促使學生明白線性代數中的某一概念。

四、結束語

綜上所述，針對線性代數教學，需要從實際應用問題入手，促使抽象的知識形象化，學生只有深入了解與掌握線性代數知識，才能夠實現自身學習興趣的激發，強化線性代數知識的認知。在學生個性化差異的基礎上，培養與提升學生的應用意識、應用能力，通過將實際應用問題引入到線性代數教學中，強化案例教學方式的應用，以此確保線性代數教學效果的良好性。

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