2018年浙江省數(shù)學(xué)高考第21題的解析與思考*

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(蕭山區(qū)第五高級(jí)中學(xué),浙江 杭州 311202)

圖1

2018年高考落下帷幕，在不斷深化發(fā)展的課改中，浙江省數(shù)學(xué)高考試題的題型、知識(shí)考查點(diǎn)、難易分布等也在不斷變化.“不落俗套”或許是高考選拔人才的一個(gè)重要指標(biāo)，2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第21題就是這樣一道題——既注重基礎(chǔ)知識(shí)考查，又注重能力選拔；既回歸解析幾何本質(zhì)，又“不按常理”出牌.筆者嘗試從知識(shí)考查、解法探究與拓展研究等方面對(duì)該題進(jìn)行分析與探討.

例1如圖1，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y2=4x上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上.

1)設(shè)AB的中點(diǎn)為M，證明：PM⊥y軸；

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第21題)

1 題意分析

本題給出的是y軸左側(cè)任意一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作拋物線的兩條弦PA和PB，恰PA，PB的中點(diǎn)均在拋物線上.第1)小題是一個(gè)定值問(wèn)題的證明，貌似是證垂直，實(shí)則是證點(diǎn)P，M的縱坐標(biāo)相等；第2)小題是當(dāng)點(diǎn)P在定曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，研究相應(yīng)三角形面積的取值范圍.第1)小題為第2)小題作鋪墊.

兩個(gè)小題的解決具有一定難度，有別于我們對(duì)解析幾何常規(guī)的認(rèn)知：通常解析幾何的問(wèn)題先是設(shè)動(dòng)直線方程(引入?yún)?shù)斜率k)，聯(lián)立方程，使用韋達(dá)定理，然后尋找已知與未知的聯(lián)系，等等.本題第1)小題雖然是我們并不陌生的一個(gè)中點(diǎn)問(wèn)題，但因?yàn)闂l件中給的是PA，PB的中點(diǎn)均在拋物線上，所以比較難運(yùn)用上述的“常規(guī)方法”,可轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理解決.稍加分析后可以發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題的解決仍是以解析幾何基本思想為基礎(chǔ)，已知點(diǎn)在曲線上，則該點(diǎn)坐標(biāo)符合曲線方程；條件中的點(diǎn)A，B及PA，PB的中點(diǎn)均在拋物線上，因此這4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)符合拋物線方程，然后再尋找條件與結(jié)論的關(guān)系.