一道高考試題的賞析及教學啟示*

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(碭山中學,安徽 碭山 235300)

1 試題呈現(xiàn)

圖1

題目如圖1，在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b，c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為______.

(2018年江蘇省數(shù)學高考試題第13題)

2 試題賞析

該試題是以解三角形為背景的最值問題，呈現(xiàn)方式常規(guī)但又不俗套，表述清楚，簡潔明了，給人一種平和中見親切、簡明中見關懷的感覺.作為填空壓軸題，不僅考查了基礎知識、基本技能和基本方法，同時注重解法的多樣性與靈活性，注重向量和三角的綜合運算，突出了對數(shù)學思想和數(shù)學方法的考查，集中體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)，是難得一見的好題.

3 思路分析及解法賞析

3.1 思路分析

求解4a+c的最小值，關鍵是利用題目條件建立a,c之間的關系式.解三角形問題一般可借助正弦定理、余弦定理或三角形的性質建立a,c的關系式，也可通過向量建立a,c的關系式，然后借助函數(shù)或基本不等式求解.

3.2 解法賞析

在△ABD中，由正弦定理可得

即

在△BDC中，同理可得

解法2(利用余弦定理)在△ABD中，由余弦定理可得

|AD|2=c2+1-c,

在△BDC中，同理可得

|DC|2=a2+1-a,

由角平分線定理可知

因此

化簡可得

(a-c)(a+c)=ac(a-c).

當a=c時，由|BD|=1，可得a=c=2，此時

4a+c=10,

當a≠c時，a+c=ac,即

則

綜上所述,4a+c的最小值是9.

解法3(利用面積公式)由題意可知

S△ABC=S△ABD+S△BDC，

即

化簡可得

a+c=ac，

即

以下解法同上.

圖2

化簡可得

a+c=ac，

即

以下解法同上.

解法5(利用基底法)由角平分線定理可知

即

蕉城區(qū)水利風景區(qū)內未建立導覽系統(tǒng)和導覽路徑，未配有向導解說員。解說牌、印刷品等解說媒體數(shù)量較少，存在特色不明顯，內容簡單，滿足不了游客需求，不能向游客展示當?shù)鬲毺氐乃萍迹幕兔褡迕袼孜幕?/p>

所以

化簡得

(a+c)2=a2c2，

即

以下解法同上.

4 教學啟示

1)在教學中應注重培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力.

對于解法1和解法2,大部分學生都望而卻步，主要原因是數(shù)學運算不過關，因此在平時教學中應注重數(shù)學運算能力的培養(yǎng).數(shù)學運算主要表現(xiàn)為：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、求得運算結果等，通過數(shù)學運算促進數(shù)學思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的習慣，教師絕不能越俎代庖，思路代替不了運算.

2)在教學中應重視知識的生成過程，注意對問題本質的探究.

以上可以看出，作為壓軸題，它所涉及的知識大都是多元的，面對多元的基礎知識及其相互聯(lián)系，靠死記硬背肯定不行.在平時的教學中，教師要重視知識的生成過程，幫助學生建立和領會知識體系的網(wǎng)絡結構，讓學生領略和體會主干知識的常見交會處，教學中要培養(yǎng)學生對知識和問題的本質進行研究的習慣.

3)在教學中應加強數(shù)學思想方法的滲透.

解法4和解法5借助向量求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想.但由于對數(shù)學思想方法生疏，考生不易想到，因此，教師應有意識地在傳授知識的同時，幫助學生揭示相關的學科思想方法，使他們在獲得知識的過程中同步地形成相應學科的思想方法，并自覺地應用這些思想方法來解決問題.