也談不等式p或不等式q恒成立問(wèn)題*

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(楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部，江蘇 興化 225700)

不等式p或不等式q恒成立問(wèn)題一直是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn).“不等式p或不等式q恒成立”為什么不等價(jià)于“不等式p恒成立或不等式q恒成立”；如何求解“不等式p或不等式q恒成立問(wèn)題”中的參數(shù)范圍？文獻(xiàn)[1-4]中幾位教師進(jìn)行了研究，筆者收獲頗多，同時(shí)有意猶未盡之感.能否把這個(gè)問(wèn)題論述得更清晰些，同時(shí)給出解決這類(lèi)問(wèn)題的一般方法？筆者從數(shù)形結(jié)合角度進(jìn)行了嘗試.

1 引例呈現(xiàn)

例1[1]已知a3x-1對(duì)x∈[0,2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2 典型錯(cuò)解

錯(cuò)解已知a3x-1對(duì)x∈[0,2]恒成立，等價(jià)于a3x-1對(duì)x∈[0,2]恒成立，即

a<(x+1)min或a>(3x-1)max，

從而

a<1或a>5.

3 圖形釋疑

顯然由a3x-1對(duì)x∈[0,2]恒成立，得a3x-1對(duì)x∈[0,2]恒成立，即由a<1或a>5，得a3x-1對(duì)x∈[0,2]恒成立.故以下只需研究a∈[1,5]的情形.

作直線y=a與線段y=x+1(其中x∈[0,2]),y=3x-1(其中x∈[0,2]).

1)當(dāng)13x-1，因此當(dāng)x∈[0,xB)∪(xA,2]時(shí)，a3x-1.又[0,2]?[0,xB)∪(xA,2]，于是a3x-1對(duì)x∈[0,2]恒成立.

圖1 圖2 圖3

2)當(dāng)23x-1，因此當(dāng)x∈[0,xB)∪(xA,2]時(shí)，a3x-1.但當(dāng)x∈[xB,xA]時(shí)，a≥x+1且a≤3x-1，又[0,2]=[0,xB)∪(xA,2]∪[xB,xA]，于是a3x-1對(duì)x∈[0,2]不恒成立.

3)當(dāng)33x-1，但當(dāng)x∈[xB,2]時(shí)，a≥x+1且a≤3x-1.又[0,2]=[0,xB)∪[xB,2]，于是a3x-1對(duì)x∈[0,2]不恒成立.

4)當(dāng)a=1時(shí)，顯然可得a3x-1對(duì)x∈[0,2]恒成立(如圖1).

5)當(dāng)a=2,3,5時(shí)，顯然可得a3x-1對(duì)x∈[0,2]不恒成立(如圖2、圖3).

因此，引例的解應(yīng)為a<2或a>5.

4 小結(jié)提煉

至此，我們發(fā)現(xiàn)：

1)“不等式p或不等式q恒成立”一般不等價(jià)于“不等式p恒成立或不等式q恒成立”.

2)由于圖像的直觀易懂，數(shù)形結(jié)合應(yīng)該是首選辦法.

3)把剛才的解答過(guò)程一般化，可以提煉出解決這類(lèi)問(wèn)題的通法：在形如“a為參數(shù)，不等式p或不等式q對(duì)x∈D恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”的一般題型中，取定某個(gè)參數(shù)a，從圖像上觀察得出不等式p的解集E、不等式q的解集F.若D?E∪F，則a符合題意；若DE∪F，則a不符合題意.

5 實(shí)戰(zhàn)檢驗(yàn)

由于引例的問(wèn)題背景為直線，因此直線型不再舉例贅述.為了體現(xiàn)方法的有效性，以下就曲線型、離散型作檢驗(yàn).

解原式整理得

圖4

圖5 圖6

6 一點(diǎn)說(shuō)明

文中幾個(gè)例題均通過(guò)分離變量轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的函數(shù)圖像與直線的位置關(guān)系進(jìn)行處理.筆者查閱了相關(guān)資料，刊載的“不等式p或不等式q恒成立問(wèn)題”都可以這樣處理.對(duì)于不能分離變量的該類(lèi)問(wèn)題，公開(kāi)刊物上目前還沒(méi)有出現(xiàn).筆者自編了幾個(gè)這樣的例題，發(fā)現(xiàn)要么很簡(jiǎn)單，要么太難,但處理策略均可歸結(jié)為通法，即從圖像上得出E,F，然后判斷D與E∪F的關(guān)系.限于篇幅，不作一一演練.