線性規劃類試題的命題思路演變與新視角*

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(大廠高級中學,江蘇 南京 210044)

如果兩個變量x，y滿足一組一次不等式，求這兩個變量的一個線性函數(例如z=2x+y)的最大值或最小值，那么我們就稱這個線性函數為目標函數，稱一次不等式組為約束條件，像這樣的問題叫作二元線性規劃問題.

1 加減變乘除，對數來還原

線性運算指加法和數量乘法，在實數領域中只包含加法和數量乘法的二元一次方程就屬于線性運算，如y=2x+1.在線性規劃問題中，無論是約束條件還是目標函數都只有加法和數量乘法這兩種運算.利用指數式和對數式的關系，將對數間的線性運算隱藏于指數式的乘除關系中，不失為一種同時考查學生轉化能力的命題視角.

(2010年江蘇省數學高考試題第12 題)

分析由條件知x>0，y>0.對兩個不等式均取以10為底的對數，得

lg 3≤lgx+2lgy≤lg 8，

lg 4≤2lgx-lgy≤lg 9，

此時

問題等價于設x，y為實數，滿足

求3x-4y的最大值.

圖1

畫出不等式組表示的可行域(是一個矩形)，如圖1.令z=3x-4y，即

zmax=3lg 3=lg 27,

評注通過取對數，代數式的乘(方)除運算可以轉化為對數的加減運算，實現非線性運算向線性運算的轉化.需要注意的是，當約束條件和目標函數都是代數式的乘(方)除運算時，只有同時對它們取對數，才能借用線性規劃的思想求解.類似地，同底冪的乘(方)除運算就是指數間的線性運算，從運算轉化的視角也可以命制相應的試題.

2 目標非線性，畫出曲線看

在線性規劃問題中，線性目標函數被理解為坐標系中的一條直線，觀察其在與可行域有公共點的前提下縱截距(含z的式子)的幾何意義.循此思路，目標函數是曲線同樣可以觀察其幾何意義——選擇合適的視角.

圖2

當它的圖像過點A(1，1)時，z取得最大值，故

評注目標函數是非線性函數，z+1為曲線與y軸交點的縱坐標，以這個幾何意義為依據確定最優解.循此思路命題：畫好一個可行域(如例2中的△ABC及其內部)，構造含待定量的任意函數，確定待定量的取值范圍.

3 三元變二元，關鍵齊次式

二元線性規劃的關鍵詞之一是“二元”，一般地，齊次式通過“同除”可以減元，因此在命題實踐中，有時呈現的約束條件是三元，但一定是齊次式形式，求解時必須“同除”以實現減元.

分析由已知及構成三角形的條件，得

圖3

4 一次變二次，思想不會變

約束條件是線性的，也就是說，可行域的邊界是直線型的.顯然，也可以將可行域的邊界改成曲線，即約束條件之一是二元二次不等式.

分析因為a>0，所以函數f(x)的圖像是開口向上的拋物線.又f(x)在區間[1，2]上有兩個不同的零點，從而

圖4

評注將約束條件用“一元二次方程根的分布”背景包裝，其中的每一個不等式都是齊次式，目標函數也是齊次式，因此通過“同除”就可以將三元轉化為二元規劃問題，所不同的是，約束條件中有一個是二次的，即x2-4y>0，不難理解其表示的區域——拋物線x2-4y=0開口外的部分(不含邊界).類似地，可以設計圓內(外)、橢圓內(外)，雙曲線開口內(外)等二次約束條件.解題過程中要注意兩點：一是考慮定義域；二是不要過分人為地復雜化.

5 數形結合好，萬變不離宗

先畫好一個曲邊三角形(為控制難度，僅有一邊是曲線)，擬定一條過定點(如原點)的動直線，求動直線斜率的取值范圍.問題擬好后，再適當代換成三元問題，并改變個別約束條件的運算形式.下面的高考真題是否就是這樣編擬的呢？

(2012年江蘇省數學高考試題第14 題)

分析由5c-3a≤b≤4c-a及c>0，得

(1)

由clnb≥a+clnc得

(2)

于是式(1)即為 5-3x≤y≤4-x,

(3)

式(2)即為y≥ex.

(4)

圖5

y-ex0=ex0(x-x0),

萬變不離其宗，多變量不等關系約束下求(非)線性目標函數的取值范圍，數形結合思想不變.從命題的角度看，一般先有圖，將需要考查的想法融于圖中；然后編擬二元規劃問題，進行字母代換或運算代換后變為三元、非線性的問題；最后給約束條件和目標函數賦予恰當、新穎的背景.遵循這樣的命題思路，讀者也可以命制更多形式新穎、思路靈活、更有難度的試題.