基于智能診斷系統的精準反思*
——以“分段函數”反思為例

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(鳳鳴高級中學,浙江 桐鄉 314500)

二十世紀六十年代，美國學者林斯利基于斯金納的行為主義學習理論提出了一種教學方法，叫精準教學.他通過設計測量過程以追蹤學生的學習表現，同時支持數據決策.林斯利在具體的實施過程中，又強調系統教育的評估和錯誤訂正[3]，后來精準教學發展為可對任意指定的教學方法是否有效進行評估的一種框架.

受精準教學啟發，基于記錄學生學習表現的統計數據，可更精準地確定行為和評價，同時也可更精準地進行錯誤訂正，故可借助智能診斷系統的精準分析促進學生進行精準反思.

1 “互聯網+”智能診斷系統為精準反思提供了載體

本研究借助由某計算機公司開發的智能診斷系統，該系統的設計原理是：基于不同學習者知識結構以及學習水平和能力等的不同，通過知識點“合并門檻”的設置，在學習者的學習能力范圍，將有關聯的知識點合并為一個學習內容，使得系統自適應生成個性化的學習者學習診斷圖.該系統的核心技術是將某一個數學內容分解成若干個相互有關聯的知識節點，并據此設計出相應的數學測試題.這一工作是由該公司聘請的有著豐富數學教學經驗的教師團隊完成.

學生只要通過互聯網上機，完成某個數學知識點的一些測試題，就會馬上得到該生在這一學習內容上的學習診斷圖，并揭示該生所犯的錯誤類型及原因.在此基礎上還會給出相應的補救措施和途徑.因此，學生可以根據這些個性化的診斷信息進行精準反思與決策.下面以“分段函數”為例進行說明.

2 基于智能診斷系統的精準反思實施過程

2.1 智能診斷系統下的精準診斷原理

人教A版普通高中課程標準實驗教科書《數學(必修1)》第1.2.2節“函數的表示法”中的分段函數，是學生進入高中后遇到的第一個不同于初中所學的函數形式.它涉及函數的三要素與性質，綜合性強，又是高考的熱門知識點，可以很好地檢驗和評估學生學習后的效果.智能診斷系統將“分段函數”分解成了16個子知識節點:

1)知道分段函數;

2)會求分段函數的最值和值域;

3)會判斷分段函數的單調性;

4)會求分段函數的零點;

5)會解含參的分段函數問題;

6)會建立以幾何為背景分段函數關系式;

7)會解決納稅問題;

8)會建立以其他實際為背景的分段函數關系式;

9)知道取整符號含義;

10)知道含取整符號的恒等式;

11)知道含取整符號的不等式;

12)會研究取整函數的圖像與性質;

13)會運用取整符號建立函數關系式;

14)能解決有關取整函數問題;

15)理解新定義sgn;

16)理解新定義min,max.

測試題圍繞這16個子知識點進行設計，采用了“遞歸思想”.根據“短板效應”，學生在某個知識點的水平并不取決于該生最擅長的子知識，而是由最薄弱的那部分子知識所決定.比如生A在某一題上錯了，并不表示生A對此知識點一無所知，很有可能是在某個更細的子知識點犯了錯.為了精準找到這個“病灶”，需要生A再做下一個子知識點的題目，若做對了，就可排除該子知識點，然后去做另一個子知識點的題目；若還是錯，則再做下一個子知識點的題，如此遞歸往復，直至找到真正的原因.因此，每個學生做的測試題量是不一樣的.水平高的學生，做對了一題就表明該題包含的知識節點已掌握，接著智能系統就會給出其他知識節點的測試題，因此水平越高的學生做的題越少，水平越低的學生做的題越多.下面呈現部分不同知識節點的測試題.

例如“會判斷分段函數的單調性”這個知識點，智能系統給出的測試題之一為：

( )

A.(-∞,-2)∪(2,+∞)

B.(-2,2)

C.(-2,0)和(0,2)

D.(-∞,-2)和(2,+∞)

再如“會解決有關取整函數問題”這個知識點，系統給出的其中一個測試題是：

例2用[x]表示不大于x的最大整數，例如[1.7]=1,[0.25]=0，[-3.4]=-4,則滿足方程[3.8x]=[3.8]x+1的自然數x的個數為( )

A.4 B.3 C.2 D.1

再比如知識點“理解新定義”的測試題是：

( )

A.sgn[h(x)]=sgnx

B.sgn[h(x)]=-sgnx

C.sgn[h(x)]=sgn[f(x)]

D.sgn[h(x)]=-sgn[f(x)]

上述例子僅是舉了3個知識點的測試題之一，因為同一知識點還有幾個變式測試題，以診斷學生究竟錯在哪一個子知識點上，從而精準找出學生知識點的短板.

2.2 精準診斷的結果

筆者所研究的實驗班有42人參與測試，“分段函數”內容設有32道題，總分為100分.測試結果是平均72分，平均做題為13.57道，每生平均花時30分29秒，全班的診斷雷達圖如圖1.

圖1

由圖1可知，學生對分段函數各知識節點的掌握程度并不是均勻公布的，也不是按由易到難的規律分布.因為這16個知識節點從“知道分段函數”開始，按順時針方向是簡單到復雜、基礎到高階來排列的，所以從理論上講，后面越復雜的知識節點學生應該掌握得越差，然而測試結果并非如此.圖1表明，處于中間難度的知識節點，如“解含參的分段函數問題”“解決納稅問題”學生掌握得并不好，而處于后面較難的知識節點，如“知道含取整符號的不等式”“會研究取整函數的圖像與性質”等則掌握得很不錯.由此表明全班學生測試后掌握知識點的整體狀況還是需要仔細分析的，也是值得教師反思的.比如，“會解決納稅問題”的知識節點，學生之所以掌握得不好，原因就是筆者既沒有舉例講授涉及分段函數的應用題，也沒有讓學生練習這類題型，故凡涉及應用背景的測試題學生都沒有做好，這顯然與教師的“教”有直接關系.而關于“取整符號”和“新定義”這類新題型，教師沒有講過也沒有練習，為何涉及前者的知識點學生都做得不錯，而后者都做得不好呢？事后訪談得知，原來初中教師已經講過取整符號這類題型，學生也練習過，因此知道怎么做.由此說明，教師的教學干預還是很有效果的.

下面進一步以接近平均分的某生B為例來呈現個體的診斷情況.

學生B上機測試得了69分，做了17道題，花時33分鐘.生B在做完測試題后就可在電腦上直接看到自己的診斷結果，有一張類似圖1的雷達圖，告訴生B已掌握哪些知識點，哪些沒有掌握，并給出了每個知識點班級的平均掌握程度，以清楚自己在班中的位置.隨后診斷系統會給出生B的錯誤類型分析.生B犯了很多記憶方面的錯誤，有定義記錯、性質記錯等，同時指出了錯誤發生在哪類題型上，具體到哪個知識點的定義和性質.再如審題方面的錯誤，明確告之是分析和觀察時出錯，具體錯誤點是“單調區間用并集相連”，即把生B的錯誤點、錯誤原因、錯誤類型精準定位了.顯然，智能診斷系統對生B的診斷和評價既客觀又有針對性.

2.3 基于精準診斷的精準反思過程

1)學生通過自我反思報告實現精準決策.

每個學生得到自己的診斷圖和錯誤類型分析后，還可進一步查看自己做錯的那幾道測試題和正確解答，以便學生更清楚地知道自己具體的錯誤點.另外，智能診斷系統還會給出每個學生的補習路徑，明確告訴學生要從哪幾個知識點去加強訓練.在此基礎上教師要求每個學生寫出自己的反思報告，具體內容包含做測試題時出錯的原因分析與錯誤類型、改進的實際措施與途徑等.

2)教師通過變式訓練協助反思落地.

教師事先準備了許多不同知識節點的變式題，有的來自測試系統，有的教師自己編制，而這些變式題的難易度是不同的，以適應不同程度的學生.教師收到每個學生的反思報告后開始介入，首先閱讀該生的反思報告，分析該生是否充分借助診斷系統的結果來反思，改進措施是否具有針對性和可操作性；其次考慮學生的數學學習程度，若程度好就提供一些有針對性的較難變式題，相反則簡單一些；最后讓學生上交自己做的變式題，教師進行面批，使學生的反思決策得到落實.

2.4 精準反思后的二次診斷

學生經過自己寫反思報告和做教師提供的針對性變式題之后，對“分段函數”的認識變得更加清晰和深刻，這在后面知識的學習中有所體現.筆者在《數學(必修1)》第一章結束后進行了第二次測試，測試內容是“函數的性質”，希望借助智能系統診斷學生對函數這一章知識的掌握情況.全班的測試結果說明，測試題中凡涉及分段函數的題，如“分段函數的單調性、奇偶性”等，錯誤率明顯降低.

3 關于精準反思的若干思考

3.1 智能診斷為精準反思提供了基礎

反思要精準，首先需要精準定位，精準定位源于智能診斷中信息的精準挖掘，而所有信息又來自學生通過上機測試某知識點后的數據收集，然后智能系統經過診斷分析才形成有價值的信息；接著學生根據這些屬于自己的信息確定自己知識結構中的薄弱環節和瓶頸位置，最后進行精準決策.由此可見，智能系統的精準診斷為精準反思提供了扎實的基礎.

3.2 教學中可采用程序化過程實施精準反思

顯然，精準反思是學習者通過智能診斷系統的精準挖掘和分析，得到信息的精準定位后所形成的自我評價，接著作出反思內容與反思措施的精準決策，并在教師協助下通過變式訓練使反思落地.因此教師可將整個反思過程進行程序化操作，其流程圖如下:

3.3 精準反思能潛移默化地提升學習力

針對高中數學內容的部分核心概念與核心知識進行自我反思，不斷地讓學生對自己進行評價、監控和調節，并通過教師有針對性地協助，這樣可以明顯提高學生的反思能力.只要持之以恒，長期堅持，就能在潛移默化中提升學生的反思學習力，進而提高學生的學習力.