看似尋常最奇崛 成如容易卻艱辛*
——以一道高考模擬題的解題為例

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(宿城第一中學,安徽 宿州 234000)

宋代王安石在《題張司業詩》中用“看似尋常最奇崛，成如容易卻艱辛”來形容張籍作詩看起來很容易,但實際上都是經過艱苦構思才完成的.數學的解題也是如此，一種看似簡單的解答，其“背后”可能是解題人的困心衡慮.羅增儒教授在《數學解題學引論》中說：“人們尋找習題解答的活動叫做解題過程，它通常包括從拿到題目到完全解出的所有環節或每一個步驟.每一道習題都有自己的解題過程，每一個過程都可以分成一些循序漸進的階段.解題過程是運用數學知識、調動數學能力、不斷提出問題又不斷解決問題的思維過程.”數學的解題是一個充滿挑戰、蘊含無限魅力的思維過程.筆者以一道導數高考模擬題為例談談解題的歷程及對高三解題教學的感悟，不當之處，請批評指正.

1 題目再現,解法探究

1)當y=f(x)與y=-3相切于點A(x0,f(x0))，求a,x0的值；

2)設F(x)=f′(x)·ex，如果F(x)>-1在(0,+∞)上恒成立，求a的范圍.

說明本題是湖南、江西省2018屆高三3月份十四校數學聯考文科試題的導數壓軸題.該試題的命制嚴格遵循了《2018年普通高等學校招生全國統一考試大綱》和《2018年普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明》(以下分別簡稱為《考試大綱》和《考試說明》)的要求，在考查基礎知識的基礎上注重對數學思想方法和數學能力的考查,以能力立意，以導數知識為載體，從問題出發，考查思維品質的深度與廣度.第1)小題主要考查導數與切線的相關知識，根據切點和斜率列出方程組，解出a,x0的值；第2)小題以恒成立問題出發，考查學生對導數概念的靈活運用，考查利用導數討論函數的極值(最值)問題，考查學生運算求解能力、邏輯推理能力以及轉化與化歸的思想.筆者選用了這道題作為學生的練習題，通過對學生作業的批改、統計分析，師生的思維(思想)得到了碰撞(交流)，各種解題思路不斷涌現.筆者通過和部分學生的交流(對話)，各種解法也日臻完善，最終本題出現了精彩紛呈的一題多解.下面僅對第2)小題進行分析.

1.1 試題講解

解法1(參考答案)因為f′(x)=ax2+x-1，所以

F(x)=(ax2+x-1)ex，

從而

F′(x)=[ax2+(2a+1)x]ex，

且

F(0)=-1.

①當a=0時，F′(x)=xex，可知F(x)在(0,+∞)上單調遞增，此時F(x)>-1成立.

不符合條件.

可知F(x)在(0,+∞)上單調遞減，此時F(x)<-1,不符合條件.

⑤當a>0時,

可知F(x)在(0,+∞)上單調遞增，此時F(x)>-1成立.

綜上所述：a≥0.

1.2 學生解答

解法1是不是自然解法？是不是學生想要的解法？學生在作業中給出了回答：不是，近一半的學生首先想到的是分離參數.

解法2(分離參數)因為F(x)=f′(x)·ex>-1，所以

(ax2+x-1)ex>-1，

再記h(x)=(x+2)e-x+x-2，則

又記φ(x)=ex-(x+1)，則

φ′(x)=ex-1>0,

從而φ(x)在(0,+∞)上單調遞增，即

φ(x)>φ(0)=0，h′(x)>0，

于是h(x)在(0,+∞)上單調遞增，即

h(x)>h(0)=0，g′(x)>0，

進而g(x)在(0,+∞)上單調遞增.根據洛必達法則

故a≥0.

點評什么是自然解法？不同的人會給出不同的回答，但是筆者認為只有解題人自然(首先)想到的才是最自然的.解法2在最后的處理中用到了洛必達法則，屬于超前知識，高考解主觀題時能不用則盡量不用，但總體來說該解法瑕不掩瑜.

1.3 類比升華

類比含lnx的函數處理方法，考慮分離ex.因為F(x)=f′(x)·ex>-1，所以

ax2+x-1>-e-x.

設g(x)=ax2+x-1+e-x，從而

g′(x)=2ax+1-e-x，

g(x)>g(0)=0，

故ax2+x-1>-e-x成立.

②當a<0時，設h(x)=2ax+1-e-x，則

h′(x)=2a+e-x.

h′(x)=2a+e-x<0，

于是h(x)在(0,+∞)上單調遞減，又h(0)=0，進而h(x)<0，即g′(x)<0，故g(x)

綜上所述：a≥0.

1.4 借助放縮

解法4因為F(x)=f′(x)·ex>-1，所以

ax2+x-1>-e-x.

設g(x)=ax2+x-1+e-x，求導得

g′(x)=2ax+1-e-x.

綜上所述：a≥0.

1.5 追本溯源

解法5因為F(x)=f′(x)·ex>-1，所以

ax2+x-1>-e-x.

設g(x)=ax2+x-1，h(x)=-e-x,則

h′(x)=e-x.

由h′(0)=1，可得h(x)在x=0處的切線方程為

y=x-1.

①當a=0時，不難證得x-1≥-e-x(如圖1).

②當a>0時，ax2+x-1≥x-1，從而ax2+x-1≥-e-x成立，當且僅當x=0時取到等號(如圖1).

③當a<0時，x→+∞時，g(x)→-∞，h(x)→0(如圖2)，此時必存在x1>0，當x∈(x1,+∞)時，ax2+x-1<-e-x，不滿足條件.

綜上所述:a≥0.

點評對于函數g(x)=ax2+x-1，當a>0時，其圖像為開口向上的拋物線，與y=x-1相切于點(0,-1)；當a=0時，g(x)退化為一次函數y=x-1；當a<0時，其圖像為開口向下的拋物線，且與y=x-1相切于點(0,-1).圖1和圖2直觀地呈現了兩個函數圖像的位置關系，學生容易想象隨著a從大到小的變化g(x)圖像的動態變化過程.由此揭示了問題的本質，筆者相信這也是試題命制者的初衷.

含參數的導數恒成立問題是高考重點考查的內容之一，一直倍受命題專家的青睞.此類問題的解題切入點很多，體現了靈活運用轉化與化歸、分類討論、數形結合、函數與方程等思想方法解題的能力.解決此類問題時，通常有以下4種思路：1)分離參數，轉化成一個確定(不含參數)的函數求最值問題，但有時需用到洛必達法則，如解法2；2)直接帶參求導，如解法1，該解法需要對參數進行分類討論，對學生分析問題的能力要求較高，解題時學生容易出現參數分類不完整、分類標準不明確的情況；3)變形后帶參求導，對函數進行適當的等價轉化，變形后再求導，如解法3，此類問題有著固定的“套路”，如含lnx的函數解題時常分離lnx；4)數形結合，把恒成立問題轉化成兩個基本初等函數(或容易畫出圖像的函數)的圖像問題，借助圖像的幾何直觀性來闡明函數之間的關系，如解法5.

2 解題感悟

通過本題的求解歷程，筆者對高三復習時的選題、解題及講題有了些許感悟.高三復習課是高中數學的重要課型，而解題教學是復習課的常見形式，“能否上好解題教學課，讓學生從題海戰術中走出來，提高學習效率”是高三一線教師必須要深入研究的問題.

2.1 選題重精煉，注重引導學生思考

高三學生的時間短暫而寶貴，因此高三復習更應惜時如金.若教師不加甄別地隨便把一道題目(一張試卷)交給學生去做，學生可能不斷重復做著自己會的題目，與此同時不會做的仍然不會做.長此以往，學生便不再思考，只會對數學失去興趣，亦或是在高三復習時早早地就放棄某些題型(如導數壓軸題).波利亞說過：“一個專心的認真備課的老師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”因此，教師在選題時要注重精煉且有針對性，同時題目的選擇要具有啟發性(引導性)，能夠引導學生去思考，這樣才能提高學生的學習效率，提高解題的能力.

2.2 解題重過程，注重學生思維養成

解題就像一場思維的旅行，在乎的不是目的地(結果)，而是沿途的風景(解題過程)及看風景的心情(思維).但現在有很多師生太注重結果，只要結果對就不考慮解題過程，或者只要結果不對就全盤否定解題過程，這都是以偏概全的.波利亞說過：“中學數學教學首要的任務就是加強解題訓練，解題的價值不是答案本身，而是在于弄清怎樣想到這個解法的，是什么促使你這樣想、這樣做的，掌握數學就是意味著善于解題.”在高三，師生在解題時更應做個“明白人”，更應注重解題過程.從解題源頭開始，多關心“怎么想到的，又怎樣去解的”，按照“怎樣解題表”去分析問題、解決問題.只有注重解題的過程，才能養成良好的思維習慣和品質，才能從紛繁蕪雜的高三題海中找到解題共性和規律，從而跳出題海.

2.3 講題重落實，注重核心素養提升

2014年《教育部關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》頒布后，中國學生發展核心素養的培養成為數學教育的一項基本任務.高三解題教學不僅要重視落實《普通高中數學課程標準(2017年版)》和《考試大綱》的要求，把握方向，做到有的放矢,還要重視核心素養的培養，通過講題落實文化基礎、自主發展、社會參與等核心素養的要求.如在講題時多歸納總結，促使學生勤于反思；多審視(重視)學生的錯誤解法，樹立學生的自信心，形成良好的心理品質及抗挫折能力；解題時傳統解題教學與信息技術融合，促使學生適應信息化發展趨勢.在解題教學中落實核心素養的培養，有利于提升學生的綜合素質，促使學生內外兼修、全面發展.