突出學生主體 追求自然引導*
——對一道試題的講評與反思

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(東臺市教師發展中心，江蘇 東臺 224200)

思維能力的提升離不開題目的練習與評講.試題講評對于幫助學生熟化知識、拓寬思路、積累解題經驗、加深本質理解都具有十分重要的作用.當前解題教學中普遍存在教師“不顧學生學情就題論題”“只講怎樣解題卻不分析為何這樣解題”“只重視講解解題過程，卻不注重總結方法規律、提煉數學思想”等傾向.如何在解題教學中彰顯學生的主體地位，充分暴露真實的思維過程？教師必須通過尋找和發現學生的思維“愚鈍”，進行自然引導，點在關鍵處，引在急需處，讓學生思維的火花亮起來.筆者現結合一道期末試題的講評過程，談談解題教學的一些思考和感悟，與大家交流.

1 試題呈現

題目已知在四邊形ABCD中，E,F分別是邊AB,AD上的點，DE與CF交于點G.

圖1 圖2 圖3

(2013年湖北省武漢市數學中考試題第24題改編)

2 教學片斷

片斷1矩形中線段比的探究.

師：看第1)小題，哪位同學來談談自己的想法?

生1(證法1)：直接證明△ADE∽△DCF.

師(追問)：請具體說說你是怎么想的？

師：很好！要證比例式，最直接的方法就是證明線段所在的兩個三角形相似，將原問題轉化為證明三角形中的線段比.

圖4

師：如果將第1)小題中的矩形特殊為一個正方形，其他條件不變(如圖4)，則DE和CF之間的數量關系如何？

生2：相等，由△ADE≌△DCF可得.

師：本題有沒有其他解法？

生2(證法2)：我是通過“中間比”進行轉化的.本題中不僅有△ADE∽△DCF，而且可證△DGF與這兩個三角形也分別相似.由△ADE∽△GDF,可得

(1)

由△GDF∽△DCF,可得

(2)

師：很好！通過“中間比”進行轉化也是證明線段成比例的一種重要方法.還有其他方法嗎?比如用三角函數的相關知識.

師：在直角三角形中,借助于三角函數進行線段比的轉化有時會更簡潔.

教學說明本題是由2013年湖北省武漢市數學中考試題第24題改編而成，第1)小題以矩形為載體著重考查了相似三角形的判定和性質.此題解法較為多樣，既可以直接證明相關的兩個直角三角形相似，也可以證明兩個三角形都與第三個三角形相似，再通過“中間比”進行轉化，還可以通過三角函數來解決問題.講題時教師注重了基于學生的主體參與，尊重學生的真實想法，給足時間和機會讓學生進行有條理的思考和表達，在此基礎上教師進行精講點撥，幫助學生總結提煉，助力思維提升.其中，通過將矩形“特殊化”——原有兩個三角形的關系由相似變為全等，讓學生感悟“一般”與“特殊”的關系，自然加深了對知識的認識和理解.

片斷2平行四邊形中線段比的探究.

師：看第2)小題，將矩形弱化成一般的平行四邊形后，原有的思路、方法是否還可行？

(學生獨立思考，小組討論.)

師：怎么辦？現在你有完整的思路嗎？

生4：還沒有，我在想是不是可以通過構造三角形相似來解決問題.

師：很好！盡管你沒能說出完整思路，但仍然要為你點贊，敢于表達自己真實的想法.

師：現在我們先不急于構造，看看有沒有同學能夠幫他把剛才這條路走通？

師：接著來看用“構造法”怎么做？

生6：在圖1中，由于四邊形ABCD為矩形，因此

∠DAE=∠CDF=90°，

從而△ADE∽△GDF，△ADE∽△DCF，將矩形ABCD改為一般的平行四邊形后，∠DAE和∠CDF的相等關系發生了改變，但互補關系仍然存在，于是我想抓住互補關系進行突破.如圖5，在AD的延長線上取點M，使CM=CF，則

∠CDM=∠DAE， ∠M=∠CFD=∠DEA，

這樣就構造出了△DCM，且△DCM∽△ADE，剩下的就是通過證明相似來解決問題.

師：很好！生6能抓住題中的關鍵條件通過“構造法”來轉化問題.還有其他的方法嗎？

圖5 圖6

生7：剛才生6用的是“延長法”，我想用“截取法”.如圖6，在AD上取點N，使CN=CD，容易證明∠CNF=∠DAE，以下只需證明△ADE∽△NCF即可.

師：生7的方法也很好！他與生6的方法本質上是一致的，只是構造出的三角形位置不同而已.

師：剛才我們是在邊AD所在的直線上進行構造，如果在邊BA所在的直線上進行構造，行不行？

(學生積極探究中,不一會有人上臺講題.)

生8：如圖7，在BA的延長線上取點P，使DP=DE，只需證明△ADP∽DCF即可.

圖7 圖8

生9：我還有一種方法，如圖8，在BA的延長線上取點Q，使DQ=DA，只需證明△QDE∽△DCF即可.

師：請生9談談你的方法與生8的方法有什么不同？

生9：構造的三角形位置不同，但都是抓住∠DAE和∠CDF的互補關系構造了與△DCF相似的三角形，因此本質上仍然是一致的.

教學說明尋找思維“愚鈍”，自然引導點撥是解題教學的較高追求.將第1)小題中的矩形ABCD弱化為一般的平行四邊形后，由于直角條件發生了改變，導致了其中一些角的關系和三角形相似關系隨之發生了改變，有些關系仍然成立，有些不再成立，這也增加了本題的探究空間.實際教學中教師沒有采取直接講授或告知的方法，而是給足時間和空間讓學生自主思考，大膽表述，充分暴露自己真實的思維過程，在此基礎上，教師緊緊抓住學生的思維“愚鈍”，通過自然引導、追問點撥，讓學生在對比分析和新思路探尋的過程中加深對數學本質的理解.教師注重一題多解和多解歸一，幫助學生積累解題經驗、發展思維能力.

片斷3箏形中線段比的探究.

師：真學課堂，精彩繼續！來看將矩形變為箏形后的情況.

圖9 圖10

生11：我還有不同的方法，如圖10，過點B作BH⊥CN于點H，構造Rt△BCH，接下去與生10的方法類似.

生12：我是在圖9的基礎上過點D作DQ⊥MC于點Q，如圖11，構造△DCQ∽△BCM……

圖11 圖12

生13：我們組用的是面積法，如圖12，聯結AC，可以在△ACD中抓住面積的兩種不同的表示方法來求CN的長……

生14：我們組想到的方法是在圖12中，先證明△ACF∽△BDE……

師：剛才幾位同學的方法都很好！這里涉及到的“轉化”“方程”思想以及“面積法”等值得大家仔細領會和掌握.

圖13

教學說明“拓寬解題思路，加深對問題的認識”是解題教學的重要職能.將矩形改成箏形后，問題的解決既可以通過“補形”類比于第1)小題用相似解決，也可以用“面積法”解決，還可以從“一般”與“特殊”的關系出發，考慮將線段放到特殊位置來考慮.在教學時，先讓學生在獨立思考的基礎上進行小組討論與交流，再由各小組派代表上臺講題，教師因勢利導，根據課堂生成精講點撥，幫助學生歸納解題方法，明晰數學思想.這樣既注重一題多解和方法對比，又注重多解歸一，把握通法，以解題為載體，使學生對知識的理解、問題的認識以及思維的發展得到同步提升.

3 教學思考及感悟

1)解題教學應從學生已有的知識基礎和思維水平出發，尋找思維“愚鈍”，追求自然引導.皮亞杰的建構理論告訴我們：學習不是被動吸收，而是學習者主動建構知識的過程.實踐表明，一切教育教學行為，如果離開了學生的自我感知和主動內化，教師即使講得再精彩，充其量也只是一場“個人秀”，并不能真正促進學生的自我發展.學生的思維具有個體化的特性，教師在教學中要認真分析學情，找準學生知識和思維的“最近發展區”，將解題方法的生成落在學生知識的最近生長點上，即：①要遵循學生的認知規律，把思考和探究的時間和空間更多的交給學生，把握好教學節奏，處理好解題教學的各個環節，從審題到破題再到思路的形成以及對解題過程的反思都要讓學生親自參與，引導學生積極主動思考，彰顯他們的主體地位；②在此基礎上尋找學生真實的思維“愚鈍”，講求對解題思路形成過程的自然剖析和引導，讓學生體驗思路的自然展開和方法的自然生成，避免簡單告知或由教師包辦代替.

在片斷2的教學中，將矩形變為平行四邊形后，由于一些角關系的變化導致圖中一些三角形的相似關系隨之發生變化，有的仍然成立，如△ADE∽△GDF，△DCF∽△GCD；有的不再成立，像△DCF與△GDF的相似關系改變，這直接導致了生4在類比生2用中間比進行轉化時發生了思維“愚鈍”，在這種情形下，教師沒有急于直接告知，而是讓出探究的時間和空間，給學生充分思考和表達的機會，再輔之以教師的自然引導，這才有了之后生5“換個角度思考”的精彩生成.這樣的處理看似有些“浪費時間”，影響教學效率，但從長遠看，這對于提升學生的思維品質、積累解題活動經驗大有裨益.

2)解題教學應善于從圖形中動與靜的關系出發，作“特殊化”思考，進行“一般化”證明.數學是思維的科學，教學生“學會思考”是數學學科重要的育人功能，也是數學教學的重要職能.對于一些幾何圖形的變式類問題，有時直接發現或論證其中的一些結論會感到困難，對此教師若能抓住圖形中動和靜的關系，以“靜”制“動”，引導學生從“一般”到“特殊”進行思考，先探究它的特殊或局部情況，從中發現規律與解答的方法，再進行一般化證明，往往是解決此類問題有效的教學策略.按照陜西師范大學羅增儒教授的觀點，這種對于解題方法策略的指導是解題教學的精髓，也是促進學生數學核心素養形成的有效手段.

比如片斷3的教學，教師若能引導學生抓住DE與CF的垂直關系，把圖形“動”起來思考，然后在“動”中取“靜”，找到兩條線段各自的特殊位置(即BD和AC)，再結合特殊位置的關系來尋找思路，問題就會迎刃而解.再比如片斷2的教學，在圖6中，學生可能不容易想到用截取法，教師若能引導學生抓住∠A和∠EGF的互補關系將圖形特殊化，使得DE向DA的位置運動，CF也隨之運動，當DE與DA重合時，CF所在的位置(即圖6中的CN)就為用截取法添置輔助線提供了思路.當然，這類問題用幾何畫板來演示往往比較直觀，但學生在實際解題時沒有幾何畫板可供操作，教師在進行教學指導時應幫助學生滲透和強化“特殊化”這一解題策略，促進學生從意識到能力的轉變和提升.

3)解題教學應從題目蘊含的知識技能和思想方法出發，促進“深度”學習，提升數學素養.數學離不開解題，而數學題永遠也解不完.這就要求教師不能滿足于就題論題或蜻蜓點水，也不能熱衷于搞題海戰術，以多取勝.好的解題教學應當注重引領學生分析解題的方法，在問題解決的過程中幫助學生明晰隱含在題中的核心概念、基本性質、思想方法等，既授人以魚又授人以漁，同時注重優化和培養學生的思維品質和思維能力[1].

本題通過對四邊形中線段比問題的探究，著重研究了矩形及平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質、等腰三角形及直角三角形的性質、一元二次方程等主干核心知識，同時考查了學生對類比、轉化、分類、數形結合、方程(模型)等數學思想的理解和掌握情況，題目具有一定的典型性和綜合性.數學思想方法是解決數學問題的利器，也是數學核心素養的重要體現，在教學中教師要充分挖掘題目的內涵，以知識為載體、思想方法為核心、思維和能力提升為主線，引導學生進行一題多解、一題多變及多解歸一的學習訓練，通過學生的積極參與、充分體驗和解題后的反思，從而促進學生的“深度”參與和有效學習，幫助學生積累解題經驗、提升數學素養[2].