落實探究過程 深化策略教學
——以“轉化——解決問題的策略”的教學為例

江蘇無錫市港下實驗小學 華建東

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生認識規律。它不僅包括數學的結果，也包括數學結果形成的過程和蘊含的數學思想方法。”新課標強調“要重視過程，處理好過程和結果的關系”，還明確地提出了“四基”與“四能”，教育改革方向決定教材建設方向。因此相較于實驗教材，修訂教材有了較大幅度的改動，如難度降低、體驗多樣、過程豐盈、融合數學思想方法、重視基本活動經驗等，體現出了數學課程改革的核心理念。

蘇教版教材中“解決問題的策略——轉化”這一內容的編排就較明顯地體現了這些變化，這些變化給我們一線教師的教學帶來了新的思考與挑戰。如何在教學中突出這一內容的重點，突破這一內容的難點？如何深化策略教學，引導學生經歷探索過程，更好地體會轉化思想，更多地積累轉化活動經驗，從而培養轉化的策略意識？筆者結合修訂教材進行了教學探索與嘗試。

一、在教材對比中把握教學內涵

研讀教材，明晰教學內容的核心，才能更好地設計教學環節，組織課堂活動，深化課堂教學，因此在教學本單元內容時，筆者將實驗教材與修訂教材中相關內容進行了比較，希望在教材的“變”與“不變”中尋得教學的新突破。

（一）教學時間的調整

在實驗教材中“解決問題的策略——轉化”這一內容以獨立單元的形式安排在六年級下冊，修訂教材保留獨立單元的形式將其提前到了五年級下冊。轉化思想是解決問題的基本思想，解決問題的過程就是一個將未知一步步轉化成已知的過程。在之前的學習中，學生已經多次接觸、運用到了這一策略，如多邊形、圓形面積公式的推導，異分母分數加減法，小數乘除法等。因此，在這時學習“轉化的策略”是可行的，提早學習也為之后學習分數乘除法等內容作了良好的鋪墊。

（二）例題編排的調整

兩套教材都在這一單元編排了兩道例題，如下表：

修訂教材保留了實驗教材中的例1，只在問題與圖形大小上進行了調整。實驗教材中的例2是分數問題中數量關系的轉化，修訂教材將其刪掉，將實驗教材中例1之后的“試一試”調整為例2，重點教學數與形之間的轉化，旨在引導學生從數與計算的角度體會轉化策略的過程及特點，感悟幾何直觀的思想與價值。

（三）教學線索的調整

實驗教材中例1的教學安排了兩個層次的活動，即轉化比較與回顧反思。修訂教材中例1的教學則安排了四個層次的活動：構思方法——操作實踐——回顧反思，其中回顧反思分為兩個層次。修訂教材的例2同樣安排了四個層次的活動：觀察發現——嘗試計算——引導轉化——回顧反思。

顯然，修訂教材多板塊的設計突出了轉化策略教學的重點，分化了轉化策略教學的難點，也更符合小學生認識規律，更利于學生在操作與思考的過程中積累數學活動經驗，體會運用轉化策略解決問題的過程與方法，感受轉化策略的價值。

除此之外，修訂教材的習題也有了較大的調整，習題編排主要體現出難度有所降低、系統性更強、涉及面更廣的特點。

綜上所述，修訂教材在內容編排上的調整，更便于教師準確把握教學思路，給學生提供了更多實踐與思考的機會，更利于學生經歷運用轉化的策略解決問題的全過程，感受策略的價值，培養策略意識，提升運用策略解決問題的能力。

二、在課堂實踐中深化策略教學

初看教材，大多數教師都會覺得例1對學生來說比較簡單，例2要讓學生理解有一定難度，模仿計算比較容易實現。“例1匆匆過，例2粗粗過”，差不多就是教學現實的真實寫照。然而，從學生的作業及課后談話，筆者發現他們熟知轉化之名，卻不得轉化之法，于是 “一蒙而就的答案”“茫然不知的天窗”就時常出現在作業中。針對出現的問題，筆者一邊尋求他人經驗與幫助，一邊在教學中摸索和嘗試。

（一）落實操作過程，讓轉化有方法

心理學研究表明：小學生正處在形象思維繼續發展、抽象思維開始發展的階段，他們的抽象思維常常需要感性材料的支持才能順利進行。因此，操作活動在小學數學學習中發揮著重要的作用，學生通過動手操作經歷探究的過程，能獲得更為深入的數學認識和活動體驗，更多地積累基本數學活動經驗，更好地理解數學本質。皮亞杰說：“活動既是感知的源泉，又是思維發展的基礎。” 在轉化策略的教學中落實操作過程，讓學生經歷運用轉化解決問題的過程，有助于學生習轉化之法，入轉化之門。

對于身經百戰的五年級學生來說，例1真是簡單，往往問題剛出示，大部分學生就會告訴你兩個圖形面積相等，他們還會告訴你：“左圖上面的半圓移下來就是一個長方形，右圖左右兩個半圓補到上面也是一個長方形，所以是一樣的。”脫口而出的答案造就一個他們都已經掌握了的假象。在做練習十六第2題的第3小題時，這個假象就被打破了，很多同學都不假思索填了，問他們怎么想的，他們說把圖形旋轉得到的（如圖1）。顯然，這是不正確的。如此現象，讓筆者意識到，可能圖形的轉化在他們看來就是一種直覺，多數情況下這種直覺是正確的，但當題目難度加大時，這種直覺就不那么實用了。筆者重新回頭檢查他們完成例1轉化的情況，果不其然發現并不是所有學生都真正理解其中的轉化之法。于是再次教學例1時，筆者要求學生在圖上畫一畫，或者利用提供的素材剪一剪、拼一拼，之后還要比畫著說一說自己是怎樣想的，怎樣操作的，讓學生在畫、剪、拼、說的過程中感受圖形的轉化是有章法的，要根據圖形的特點進行平移、旋轉才能真正實現“由復雜到簡單”“由不規則到規則”的變形。

圖1

例2的教學則必須依托幾何直觀才能完成，在明確“后一個加數是前一個加數的”后，引導學生將一個正方形看作單位“1”，通過折紙或畫圖表示出這個加法計算的結果。在折、畫、填的過程中學生逐漸勾連起算式意義與幾何直觀之間的聯系，發現涂色部分的和就是從正方形中減去空白部分，而空白部分就是

通過剪、拼、畫、折等操作，在例1教學中落實圖形分割、圖形運動的方法，在例2教學中落實借助幾何直觀表示算式意義的方法，這些都為學生感悟轉化思想、領悟轉化本質奠定了基礎。

（二）落實思維過程，讓轉化有深度

轉化策略的教學，除了“轉化”還有什么？一是實現轉化的推理過程。轉化離不開推理，轉化的過程往往也是推理的過程，當學生能清楚地表達這一過程，自然也就掌握了轉化的方法。二是其中蘊含的數學思想，引導學生在思考的過程中感悟數學思想，才能讓轉化教學有深度，讓學生的思維能力有提升。

1.在思考中明晰轉化的本質

教材選取了運用轉化策略分析和解決實際問題中較典型的兩個問題——圖形的等積（長）轉化和連加算式的等值轉化。這兩種轉化策略的本質在于“變中求不變”，所以在教學中教師要引導學生感悟轉化過程中的“變”與“不變”，才能實現學生對轉化策略的深度理解。

比如教學第一課時時，每當學生完成了圖形轉化的過程，教師應及時追問“轉化前后，什么變了？什么沒有變？”讓學生聯系操作過程，感悟“形狀改變，面積（周長）沒有變”的本質。而在例2的教學中，則應緊緊依托幾何直觀，讓學生明確涂色部分即整體減去空白部分所剩下的部分，聯系算式即表示的和與的差是等值的。

“變”是為了更好、更快地解決問題，“不變”則是實現這種轉化的關鍵，是聯系變化前后兩種不同狀態的紐帶。只有理清了其中的“變”與“不變”，從本質上理解轉化思想，才能真正掌握轉化的方法，實現針對具體問題尋找合適的轉化方法的目標。

2.在變式訓練中提升思維能力

數學教學在某種程度上是一種思維的教學，讓學生在解決一個個實際問題的過程中錘煉思維，提升思維品質，感受思維的魅力，這樣的教學才是有深度的數學教學。基于這樣的目標，僅把目光停留在幾道例題和練習題上顯然是不夠的，學生需要更寬、更廣的思維空間，變式訓練不失為一種有效的手段。教師們也在這一方面努力做著嘗試，讓簡單的例題不再“簡單”，變得豐富而厚實。

（1）依托變式打開思維之門。

在教學例1之后的試一試時，有教師將圖例由原來的兩幅增加至三幅（如圖2）。在引導學生通過不同的轉化過程，明確小路面積始終保持不變之后，追問：“在面積不變的前提下，圖中的小路還可以怎樣鋪設呢？誰來指一指。”以此打開了學生的思路，在變式中豐富了學生對策略的認識與理解，也進一步凸顯了“變中求不變”的策略本質。

圖2

（2）依托變式打破思維定式

思維定式是指總是按著某一種習慣的思路去思考問題，具有兩面性。當習慣性思維與解決問題的路徑一致時，可以促進知識的正遷移，有利于問題的解決；而當習慣性思維與問題解決的路徑不一致時，就會產生負遷移，阻礙問題的順利解決。

在例2的學習中，學生通過折一折、畫一畫、想一想、算一算這些活動，初步感悟借助直觀圖示解決計算問題的方法。最后，我們卻發現在學生頭腦中留下最深刻印象的是轉化成減法計算的那一個步驟，即“用單位‘1’減去最后一個分數”，而對實現轉化的方法與原理卻領悟甚少。于是當遇到”這樣的變式時，由于思維定式導致習得的經驗產生負遷移，學生往往會錯誤地將算式轉化成為了打破這一種思維定式，有教師就直接把變式訓練融進了新課教學中。在教學完例2后進行變式訓練，引導學生再經歷畫圖或折紙的活動，發現從而建立聯系，形成有效的策略性經驗，即用單位“1”減去空白部分所表示的分數。并讓學生領悟實現轉化的關鍵并不是記憶某一步計算方法，而是要借助幾何直觀地實現從復雜連加計算到簡單減法計算的轉化。

（3）依托變式滲透極限思想

極限思想對于學生而言是有挑戰性的，卻能打破機械式重復訓練的局限，同時給學生提供了一次受數學思維洗禮的機會，讓他們感受到數學的魅力。有老師就在教學中進行了這樣的嘗試：

有時在教學中我們多設計一小步，對于學生而言卻是思維前進的一大步，也許這時他們不能完全領悟，卻能在他們心中埋下一顆思維種子。

（三）落實對比過程，讓轉化有價值

對比是認識策略、感受策略價值的重要方法。自主嘗試解決問題時的困惑與方法的繁復，鮮明地對比出應用轉化策略解決問題的簡潔與方便，凸顯了轉化策略的價值，使學生深刻感受應用策略解決問題的好處。

在教學例1時，當學生說清楚運用轉化進行比較的過程之后，筆者追問：“你們是怎樣想到用這種方法來比較的？以前數方格的方法你們怎么都不用了？”他們回答：“圖形是不規則的，不能直接比較，轉化成長方形之后，就可以直接比較了。數方格比較麻煩，而且容易數錯。”方便比較，數方格麻煩又易錯，多么直接的體會。筆者順勢指出：“是呀，看來這樣的圖形轉化很有用。”

第二課時教學中主要是將根據圖形想到的計算方法與自己先前采用的方法——通分計算進行對比。首先比較兩者計算結果，驗證新方法是正確的；其次將兩種方法本身進行對比，說說哪一個更簡單，并回憶操作和討論過程談談自己的感受，從而進一步突出畫圖的作用，凸顯轉化策略的價值。

在一次次轉化策略的運用中，在一次次不同方法的對比中，轉化的價值就自然而然地深入了學生的心中。

（四）落實反思過程，讓轉化有痕跡

策略的形成依賴于學生在數學學習過程中的體驗、感悟和反思，通過反思可以進一步明確轉化策略的應用過程，通過反思新舊經驗不斷融合，通過反思能促進粗略的內化與提升。

從課本中的引導語足見教材對回顧與反思的重視，基于教材的設計，筆者在教學中安排了多次回顧反思。主要分兩個層次，一是要求學生在解決某一問題之后，對解決問題的過程進行回顧反思；二是要求學生回顧以往的學習，喚醒曾經運用轉化策略解決問題的經驗。

轉化可以實現化新為舊，化繁為簡，化難為易，是數學學習和解決問題中常用的策略之一。要讓學生切實掌握轉化之精髓，就必須引導學生切實經歷轉化的過程，在操作中掌握方法，在思考中感悟本質，在比較中發現價值，在反思中建構知識體系。筻