“三辨”方程，讓認識直抵本質
——《認識方程》一課的實踐和思考

江蘇南通市通州區實驗小學 李紅霞

備課時，有老師說，這堂課很簡單，學生自學就能解決，不就是理解“含有未知數的等式叫方程”嗎？

是的，本課的教學目標就是認識方程，那到底理解些什么呢？理解到什么程度？我回顧了以往學生的錯誤點，查閱了資料，看了顧亞龍老師的視頻課，帶著一份學習之心與學生一起找尋方程的廬山真面目。

通過天平圖，學生們認識了方程和等式，并分析了方程和等式的關系，每人舉3個方程的例子。（選取有代表性的例子，讓學生板演）

①形如100-50=x是方程嗎？

師：這些方程，能給他們分分類嗎？

生1：我分兩類，一類是含有加減法的方程；另一類是含有乘除法的方程。

生2：我也分兩類，我是看未知數位置的，把未知數在等號前面的分一類，在等號后面的分一類。（板書如圖）

師：你覺得把未知數放在結果的位置上，好不好?為什么？

生：不太好。因為本來就可以直接算了，還加個未知數，感覺有些畫蛇添足。

師：說得好。像這樣的方程對解決問題沒有幫助，不妨稱為“壞”方程。其他方程中的未知數都參與解決了問題，不妨稱為“好”方程。我們列方程盡可能列“好”方程。

②x=5是方程嗎？

師:關于方程，你還有什么質疑嗎？

生1：老師，我看到媽媽買的資料上有道判斷題：x=5是方程。這對嗎？

大家討論。

生2：我覺得應該是的，因為它含有未知數，也是一個等式。

一部分學生點頭默認。

生3：可是它看起來有點別扭，總覺得都已經知道x等于幾了，沒什么用。

生4：這就相當于天平左邊是一塊餅干，右邊是一個5克的砝碼。直接可以看出餅干重5克。

師：也就是說，這里的未知數沒有參加計算。那這是方程嗎？

生：我覺得這雖然是方程，但不是個“好”方程，它最好代表方程的解。

師：真棒，大家對方程的認識更進了一步。

③16-□=5是方程嗎？桃樹的棵數+50=100是方程嗎？

師：學到這里，大家對方程已經很熟悉了。那老師考考大家，160-□=50是方程嗎？

生（異口同聲）：不是。

停頓片刻，有學生嘀咕：好像不一定?

師：這樣吧，小組內把各自的想法或疑惑說一說，看看誰想的有道理。

（學生交流想法）

生1：我們組覺得不是方程，因為這和方程的樣子不像，沒有字母。

生2：我反對他的想法。我覺得字母可以表示未知數，方框也可以表示未知數。所以這個是方程。

生3：我也同意這個是方程。方程是含有未知數的等式，只要有未知數就可以了，不是只看字母。

生4：對的，方程可不是含有字母的等式呀。

師：把掌聲送給認真思考的同學們。大家抓住了方程的本質——含有未知數的等式，就能正確判斷了?？吹竭@個例子，大家是不是覺得很熟悉，就是一年級時做的“在方框里填數”，這就是方程的雛形哦。看來，方程是我們的老朋友了。

生：老師，那方框也可以用圖形來表示嗎？我的意思是說以前做的16-★=5也是方程的雛形嗎？

師：是的。在數學學習時，一開始我們接觸的是填數或者用圖形代表數，隨著你們抽象能力的提高，學了用字母表示數，我們就把它抽象成字母，成了現在的方程。其實，方程的形成經歷了悠久的歷史。在很長一段時期內，方程沒有專門的表達形式，而是使用一般的語言文字來敘述。直到300多年前，法國的數學家笛卡爾第一個提倡用x，y，z等字母來表示未知數，才形成了現在的方程。

師：所以，像“桃樹的棵數+50=100”……

生1:也是方程的雛形。

生2：老師，方程應該就是表示已知和未知的相等關系。

（根據學生的回答板書：

相等

方程未知——已知）

關系

思考:

方程這個內容已經教過好幾屆，每次教總覺得看似簡單，但是學生學得不透，不能真正建模，從而在解題時存在一定的問題。

1.能順利辨認方程的樣子就認識了方程嗎

從概念看，方程是含有未知數的等式。但有些“形”是方程，卻沒有解決問題的價值；有些“形”非方程，卻能體現方程的“神”：用已知和未知之間的等量關系來解決問題。

大數據時代讓我們的學生們總是帶著很多信息走進課堂。說到方程，他們并不陌生。但事實上，他們關注的是方程的直觀表象：有字母，有等號。但對于方程的本質是未知的。因此，我們不能把這朦朧的感知作為已知，而是應該從他們已有的認識出發，指引他們關注方程的本質元素，找到方程的“形”和“神”。

2.能流利說出方程的定義就理解了方程的思想嗎

“100-50=x”“x=5”形式符合方程的概念，但實質上并沒有參加計算，沒有解決問題的價值。在教方程時，我們常常困擾：學生總喜歡寫成未知數在結果位置的樣子。盡管一再強調這樣寫不太好，但依然有人如此，乃至后面列方程解決問題時也留有這樣的“后遺癥”。究其原因，學生只接受老師告知的“不太好”，而根本不知其真正的道理，所以并沒有從內心去接受這樣的要求。本課，我引導學生比較未知數在等號前和在結果的位置上，分別有什么不同？對解決問題有沒有起到作用？從而讓學生體驗到，雖然這樣的例子符合方程的概念，但對于解題并沒有實質性幫助，正如學生所說“本來就可以直接算了，還加個未知數，感覺有些畫蛇添足”。這樣的深度理解，最終的效果是課后練習時沒有一個學生愿意寫這樣的“壞方程”。

3.如何真正走進方程，正確建模

學到這，學生似乎已經把方程學得很透了，但事實上并沒有真正建模。循著方程的發展歷史看，早在3600年前埃及人就用方程解決問題了，中國人在2000多年前就在《九章算術》中用算籌來解決方程問題。所以，方程是用來表示已知和未知的相等關系，從而解決問題。至于字母，只是對未知數的一種簡潔約定的表現形式。所以，我們對于方程的建模應該投射到“未知數”上。

形如 “16-□=5”“桃樹的棵數+50=100”形式上不同于用字母表示的方程，但卻體現方程的本質：表示已知和未知的相等關系。所以，聯系低年級的填方框，圖形代表幾，再到現在用字母表示的形式，理解用不同形式表示未知數，層層深入，讓學生真正實現方程的建模。

透過方程的“形”，抓住方程的“神”，才能真正認識方程。通過本課的思考、學習、實踐、摸索，我深深地認識到，根據學生的盲點和知識的發展出發，全心地備一堂課，讓學生學透、研深，才能實現課堂知識有效和超越。筻