在核心素養(yǎng)理念下提升中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力

徐瑢　徐衛(wèi)東

摘要：發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)是落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的必然要求，是發(fā)展學(xué)生的理想信念和社會(huì)責(zé)任感、科學(xué)文化素養(yǎng)和終身學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生全面而有個(gè)性的發(fā)展的的有效載體，是新課程標(biāo)準(zhǔn)研制的最大亮點(diǎn)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)方面——數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，它們相互交織、相互聯(lián)系、相互滲透、形成合力，聚焦“問題解決能力”和“數(shù)學(xué)思維能力”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；問題解決；數(shù)學(xué)思維能力

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）12-025-2

課堂是教育的核心領(lǐng)域，是立德樹人的主渠道和主陣地，是學(xué)生品格提升的重要載體，也是培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)重要平臺(tái)。教學(xué)中教師應(yīng)充分的進(jìn)行教學(xué)預(yù)設(shè)，靈活地把握各種教學(xué)時(shí)機(jī)，促成學(xué)生知識(shí)的生成和能力的發(fā)展。本文從一道數(shù)列與不等式交匯問題的探究性教學(xué)出發(fā)，淺談在課堂教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升學(xué)生“問題解決能力”和“數(shù)學(xué)思維能力”。

一、問題原景呈現(xiàn)

已知數(shù)列{an}中，an=3n+（-1）n。設(shè)Tn=1a1+1a2+1a3+…+1an，是否存在正整數(shù)k，使得當(dāng)n≥3時(shí)，Tn∈（k10，k+110），如果存在，求出k；如果不存在，請說明理由。

二、教學(xué)背景分析

本題是高三模擬考試一道試題的最后一問，在對(duì)學(xué)生考試情況的分析中發(fā)現(xiàn)，很多同學(xué)思路不明，無從下手，得分不高。此外，筆者驚喜地發(fā)現(xiàn)，若把本題作為開展學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的載體，可以很好地發(fā)展學(xué)生各種數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、教學(xué)片段透析

1.檢索相關(guān)知識(shí)，培植問題解決的起點(diǎn)

對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解是“問題解決”的前提，知識(shí)理解不僅是對(duì)知識(shí)的本質(zhì)、類屬的掌握和領(lǐng)悟，還有基本技能的形成和發(fā)展，更有知識(shí)、方法的應(yīng)用及與其他知識(shí)的聯(lián)系。所以，要解決所給問題，發(fā)展核心素養(yǎng)，都應(yīng)該從知識(shí)的理解出發(fā)。

教學(xué)片段一

師：今天我們來交流探究成果，相信大家作了充分的準(zhǔn)備，領(lǐng)略了試題的魅力和風(fēng)采。請暢所欲言，將自己探究過程中的心路歷程呈現(xiàn)出來。首先請同學(xué)分析一下，試題考查的知識(shí)點(diǎn)是什么，是以什么樣的方式呈現(xiàn)的？

生1：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列和不等式，并以存在性問題的形式呈現(xiàn)，是我們經(jīng)常遇到的一類綜合題。

師：很確切。試題題面簡潔，在數(shù)列與不等式交匯處命制，開放、綜合，能力要求高，具有近年來高考的“流行元素”，符合能力立意的命題宗旨。雖然我們在高三階段經(jīng)常遇到此類問題，但為什么本題卻難以突破？原因何在？請分析一下。

學(xué)生2：我遇到的最大問題是題目中的數(shù)列不會(huì)求和，和得不到化簡，就不能解決接下來的不等式問題。

師：大家不是已經(jīng)熟練掌握了不少特殊數(shù)列的求和方法嗎？那你為什么不會(huì)對(duì)題中所給的數(shù)列求和呢？你遇到什么困難，請具體說說看。

學(xué)生2：我最初的想法是研究通項(xiàng)1an=13n+（-1）n，看看能否直接求和，結(jié)果令我很失望：由于通項(xiàng)1an=13n+（-1）n是分式，且分母是兩個(gè)數(shù)的冪之和，其中之一還是-1的整數(shù)次冪，我們以前所學(xué)的數(shù)列求和方法都用不起來了，也就使我們的研究目標(biāo)Tn=1a1+1a2+1a3+…+1an=12+110+126+…+13n+（-1）n得不到化簡，考試時(shí)有種無從下手之感。

【反思】 引導(dǎo)學(xué)生從分析試題所涉及的知識(shí)出發(fā)，檢索、回憶相關(guān)知識(shí)，認(rèn)清面臨的困境，這樣才能有繼續(xù)探尋突破的可能，為進(jìn)一步探究下去埋下伏筆。知識(shí)的理解是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的第一級(jí)水平。

2.助推知識(shí)遷移，探尋問題解決的突破口

知識(shí)遷移是問題解決的關(guān)鍵，只有將所學(xué)的知識(shí)、形成的基本技能遷移到新的問題情境之中，才能進(jìn)一步認(rèn)清知識(shí)本質(zhì)，促成知識(shí)生成，才能更好的厘清數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，掌握好數(shù)學(xué)思想方法，這樣需要用到多種數(shù)學(xué)方法和多種數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜問題才有可能得到解決。

教學(xué)片段二

師：原來如此，這個(gè)數(shù)列求和并不屬于我們之前已經(jīng)解決的類型。那該如何繼續(xù)下去？怎樣尋找信息，加以突破？

學(xué)生3：不妨先寫出幾項(xiàng)，對(duì)它有個(gè)大致的了解，直觀感知一下：

1a1=12，1a2=110，1a3=126，1a4=182，1a5=1240，…，很明顯，{1an}呈遞減趨勢。

T1=12，T2=35=610，當(dāng)n≥3時(shí)，T3=83130<710，T4=17342665<710，…，這個(gè)規(guī)律讓我很受鼓舞！Tn的漲幅是越來越小的，當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，這種漲幅趨向于0，這樣下去Tn會(huì)不會(huì)一直小于710呢？而且，T2恰好是610，這似乎在冥冥之中又給我們暗示！前景已變得明亮起來。我們不妨大膽猜想k=6！剩下的問題只要證明1a3+1a4+…+1an<110。

師：分析的很精辟！給我們確定了一個(gè)相對(duì)比較明確的目標(biāo)。但有了大膽猜想，還要小心求證，這是做科學(xué)的態(tài)度。下面該如何證明上述不等式？這個(gè)不等式仍然不能直接求和，左邊的和式無法與右邊直接作比較。

學(xué)生3：我們還有一個(gè)“重磅武器”——放縮！這里看到（-1）n，不禁要對(duì)n分奇偶討論。

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，記On為所有偶數(shù)項(xiàng)的和（n≥3），只要將分母的加1去掉，即有1an=13n+1<13n，我們就可以將不可求和的數(shù)列放成等比數(shù)列加以求和了，故有On=134+1+136+1+…+13n+1<134+136+…+13n=134（1-（13）2（n-1））1-（13）2<172，即On<172。

師：對(duì)偶數(shù)項(xiàng)而言，這種放縮很自然，那對(duì)奇數(shù)項(xiàng)呢？因?yàn)槠浞帜付际菧p1，不易放縮呀！

學(xué)生4：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，記Jn為所有奇數(shù)項(xiàng)的和（n≥3），令n=2m+1（m≥1），則an=132m+1-1=13×32m-1=12×32m+32m-1，因?yàn)閙≥1，所以32m-1>0，從而an<12×32m，由等比求和可得Jn<116，故On+Jn<172+116<110。這樣證實(shí)我們的猜想是對(duì)的，故k=6。

師：太棒了，在大家的共同努力下，這個(gè)問題得到了解決。這里的分類討論和不等式的放縮顯示了我們同學(xué)扎實(shí)的基本功，同時(shí)也展示了卓越的分析能力和數(shù)學(xué)智慧。

【反思】 學(xué)生從特殊情形出發(fā)，對(duì)數(shù)列{1an}中的各項(xiàng)數(shù)據(jù)加以分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的發(fā)展趨勢，結(jié)合所要解決的問題，進(jìn)行合理猜想，順利將問題轉(zhuǎn)化為相對(duì)比較容易解決的情形，同時(shí)將不能求和的數(shù)列放縮為能夠求和的形式，最終使得問題得到解決。在這過程中，發(fā)展了學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，將知識(shí)順利的遷移到陌生的情境之中，找到了問題解決的突破口。知識(shí)的遷移是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的第二級(jí)水平。

3.實(shí)現(xiàn)知識(shí)創(chuàng)新，促成數(shù)學(xué)思維的升華

知識(shí)創(chuàng)新是我們數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的最高水平。知識(shí)創(chuàng)新不僅要超越教材，生成新知識(shí)，還要能在問題解決過程中將所學(xué)各種知識(shí)深度融合，能融入學(xué)生的觀點(diǎn)及思想，對(duì)問題進(jìn)行推廣與變式，得到新的問題和結(jié)論，從而促成學(xué)生數(shù)學(xué)思維的升華。

教學(xué)片段三

學(xué)生5：我想在學(xué)生3分析的基礎(chǔ)上，再發(fā)散一下。要證的區(qū)間長度是110，湊巧的是a2為110，這很自然地聯(lián)想到我們熟悉的等比數(shù)列12，14，18，…，其和為1-12n<1，幾何解釋如圖，即在邊長為1的正方形中，各小矩形的面積之和小于1。

接下來又有一個(gè)大膽的猜想，當(dāng)n≥3時(shí)，{1an}中的項(xiàng)是否滿足1an<12·1an-1（*）呢？如果這樣，就會(huì)有Tn<12+110+12×110+122×110+…+12n-2×110=12+110+110（1-12n-2）<710。

證明（*）可用分析法：1an<12·1an-12an-10，又因?yàn)閚≥3，顯然成立。

師：真棒！這里合情推理與演繹推理交相輝映，觀察分析、聯(lián)想猜測、探索演繹，都是我們解決數(shù)學(xué)問題的科學(xué)方法，同學(xué)5還能有幾何圖形佐證他的猜想，數(shù)形結(jié)合，對(duì)我們有很好的啟迪。

學(xué)生6：事實(shí)上，上述兩種方法都走了彎路，我們可以直截了當(dāng)?shù)匕裈n放縮成等比數(shù)列的和。此時(shí)我們需要對(duì)含有（+1）和（-1）的相鄰兩項(xiàng)的和作分析，看看它們是否具有以下關(guān)系：

13n+1+13n+1-1<13n+13n+1（**）（n≥2，n為偶數(shù)）（用分析法易證，略）。

想到它其實(shí)很自然，我們總是要把陌生的東西轉(zhuǎn)化我們信手拈來的東西。這樣問題就轉(zhuǎn)化為Tn<12+132+133+…+13n。因?yàn)檫@個(gè)放縮方法是“兩兩組合”，嚴(yán)謹(jǐn)起見，還需對(duì)n分奇偶討論：

當(dāng)n為奇數(shù)，恰好運(yùn)用（**）證明，Tn<12+132（1-13n-1）1-13<12+16=23<710；

當(dāng)n為偶數(shù)，則加強(qiáng)命題為，Tn<12+132+133+…+13n+13n+1<12+16=23<710。

由此我們可得結(jié)論：存在滿足條件的k，k=6。

【反思】 在所給問題已經(jīng)解決的基礎(chǔ)上，學(xué)生還有自覺地探究下去欲望和沖動(dòng)，發(fā)展了思維，掌握了數(shù)學(xué)本質(zhì)及知識(shí)間的聯(lián)系。這一過程中，將代數(shù)式放縮幾何化，化抽象為直觀，并加以嚴(yán)格的邏輯推理，既推動(dòng)了數(shù)學(xué)抽象能力，又提升了直觀想象和邏輯推理的素養(yǎng)，作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)成分中三個(gè)，都得到了有效的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的綜合和創(chuàng)新，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維能力，形成學(xué)科思維是學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的最高表現(xiàn)。

四、教學(xué)反思感悟

本節(jié)課采用“先行組織者”策略，以具體的數(shù)學(xué)問題為載體，引導(dǎo)、組織學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)問題、探尋思路、提出策略，最終使問題得到有效地解決。在實(shí)施這一策略的一系列過程中，解決具體的數(shù)學(xué)問題并不是最重要的，關(guān)鍵是我們要能從中得到啟發(fā)，通過聯(lián)想和遷移對(duì)問題從多個(gè)維度思考，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)理解、知識(shí)遷移、知識(shí)創(chuàng)新等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的三個(gè)層次，使思維變得更為開闊和發(fā)散，更具流暢性、變通性和獨(dú)特性。唯有如此，學(xué)生才能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，真正地實(shí)現(xiàn)知識(shí)的生長，提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，最終發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。作為奮戰(zhàn)在教學(xué)一線的數(shù)學(xué)教師，如果我們能堅(jiān)持將這樣的探究式教學(xué)活動(dòng)作為教學(xué)常態(tài)，更多地為學(xué)生提供展示其創(chuàng)造性思維的平臺(tái)，那么，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)就會(huì)更加充滿靈動(dòng)和活力。

（本文是江蘇省教育科學(xué)十二五規(guī)劃課題“知識(shí)生長觀下的中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力提升研究”的階段成果。）