條件概率易錯點探討

李玲

[摘 要]條件概率是概率的一個重要內容，探討條件概率易錯點，能幫助學生走出誤區，提高學生解決條件概率問題的能力.

[關鍵詞]條件概率；易錯點；探討

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）14-0009-01

條件概率[P（B|A）]和一般概率相比有著自身的特點，容易和兩個事件同時發生的概率[P（AB）]相混淆.學生在審題時很容易出現偏差.下面以一道高考模擬題為例說明解決條件概率的三種方法.

題目：政府為了應對因人口老齡化而造成的勞動力短缺問題，擬定出臺“延遲退休年齡政 策”.為了了解人們對“延遲退休年齡政策”的態度，責成人社部進行調研.人社部從網上年齡在 15～65 的人群中隨機調查 100 人，調查數據的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數與年 齡的統計結果（略） .

若以 45 歲為分界點，從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣抽取 8 人參加某項活動.現從這 8 人中（45歲以下6人，45歲以上2人）隨機抽 2 人.抽到 1 位是 45 歲以下時，求抽到的另一位是 45 歲以上的概率.

分析：這是個條件概率問題.即求“抽到一人是45歲以下的條件下，抽到另一人是45歲以上的概率”，記“抽到一人是45歲以下”為事件A，“抽到另一人是45歲以上”為事件B，求[P（B|A）].這種情形下抽取是無序的.

解法一：用條件概率的定義[P（B|A）=P（AB）P（A）]計算.

[P（A）=C26+C16C12C28=2728，][][P（B|A）=P（AB）P（A）=372728=49].

解法二：用事件數之比[P（B|A）]=[n（AB）n（A）]求概率.

[n（A）]=[C16C12+C26]=27，[n（AB）=C16C12]=12，[P（B|A）]=[n（AB）n（A）]=[1227=49].

現在，我們將問題做以下引申，則所求的概率問題又會不同.

引申一：求“抽到的第1人在45歲以下時，抽到第2人在45歲以上”的概率.

這種問法必須考慮抽取的順序.記“抽到第1人在45歲以下”為事件A，“抽到第2人在45歲以上”為事件B，即求[P（B|A）]，這種情形下抽取是有序的.

解法一：用條件概率的定義[P（B|A）=P（AB）P（A）]計算.

[P（A）=A16A17A28=68]，[P（AB）=A16A12A18A17=314]，[P（B|A）=P（AB）P（A）=31468=27].

解法二：用事件數之比[P（B|A）]=[n（AB）n（A）]求概率.

[n（A）]=[A16A17=42] ， [n（AB）=A16A12]=12，[P（B|A）]=[n（AB）n（A）]=[1242=27].

解法三：縮小樣本空間.

第一次抽取的人不再考慮，第二次只能從剩下的7人中抽取，抽到45歲以上的可能有2種，則[P（B|A）]= [C12C17=27].

引申二：求“抽取的2人中1人在45歲以下，1人在45歲以上”的概率.

記事件A表示“抽取的2人中1人在45歲以下”，事件B表示“另1人在45歲以上”，該問題就是求[P（AB）].

解法一：抽取一次完成，該過程是無序的，概率為[P（AB）=C16C12C28=37].

解法二：抽取兩次完成，這個過程是有序的第一次抽到45歲以下，第二次抽到45歲以上；另一種是第一次抽到45歲以上，第二次抽到45歲以下.

該事件的概率為[P（AB）=A16A12+A12A16A28=37].

求這兩種情形下的概率問題時，對抽取的順序有兩種考慮，因此會出現兩種解法.這兩種解法的結果是一樣的.因此解題時為了避免出錯，對順序的考慮必須把握一個原則：總事件數和所求事件包含的事件數要么都考慮有序，要么都考慮無序.

引申三：求“抽取的2人中第1個人是45歲以下，第2個人是45歲以上”的概率.

記事件A表示“第1個人是45歲以下”，事件B表示“第2個人是45歲以上”，該問題也是求[P（AB）].這種情形下抽取的順序就是有序的，因此概率為[P（AB）=A16A12A28=314].

（責任編輯 黃桂堅）