在階梯式猜想中構建數學模型

周春芝 徐花

【摘要】新課程標準指出，學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。猜想不是不切實際的胡思亂想，而是有根據的想象，所以既要引導學生大膽猜想，又要引導學生小心驗證。在循序漸進式的猜想中，引導學生發現并概括出規律，從本質上把握規律的本質。

【關鍵詞】猜想 驗證 數學模型

近日有幸參加一個培訓活動，聆聽了一位名師執教的《釘子板上的多邊形》一課，對執教者循循善誘，引導學生經歷“觀察猜想—操作驗證—構建模型—應用拓展”的探究過程印象深刻，并由此引發了筆者的一些思考。

猜想一：圍成的面積跟什么有關？

（出示三個長方形）師：圍成圖形的面積與什么有關？

學生通過觀察計算，一致認為：長方形面積越大，邊上釘子數越多（n）。

生（齊）：與邊上釘子數有關系。

師：能具體說一說嗎？

生：圍成長方形的釘子數越多，這個長方形的面積（S）就越大；反之，就越小。

師：同學們都同意這樣的觀點嗎？

生（眾）：同意。

出示第二組圖形：

學生再次通過觀察、數一數、算一算等活動發現規律。

師：通過這組圖形的觀察和計算，你覺得你們的猜想怎么樣？

生：不正確，三個圖形邊上都是4枚釘子，但面積卻不相等。

師：那么在剛才的猜想過程中，你們忽視了什么沒有考慮？

生：雖然它們邊上的釘子數相等，但里面的釘子數卻不相同。

師：能修改一下剛才的猜想嗎？

生：多邊形面積大小不僅與圖形邊上的釘子數有關，還和里面的釘子數有關。

猜想二：究竟有什么關系呢？

師：那么，這三者之間究竟有什么樣的關系呢？我們可以從簡單的問題開始入手，先從圖形內有一枚釘子的研究起。

出示第三組圖形：

學生數一數、算一算并填寫表格。

師：觀察表格中的數據，你發現多邊形內只有一枚釘子時，多邊形面積和邊上的釘子數有什么關系？

生：多邊形邊上的釘子數是多邊形面積數的兩倍，多邊形面積數是邊上釘子數的一半。

師：前面，我們學習了《用字母表示數》，如果多邊形面積用字母“S”表示，邊上的釘子數用字母“n”表示，里面的釘子數用字母“a”表示。當a=1時，你能用字母表示出多邊形的面積和邊上釘子數的關系嗎？

生：n=2S。

師：還可以怎樣表示？

生：S=n÷2。（板書）

師：看，用字母表示多簡潔！下面請同學們自己動手在點子圖上畫幾個里面有2枚釘子的多邊形，用剛才的方法研究一下，此時多邊形的面積和邊上的釘子數又有什么樣的關系？（學生獨立開展操作研究）

匯報：

師：再次觀察表格中的數據，說一說你發現“多邊形面積”和“多邊形邊上的釘子數”之間又有什么關系？

生：n=2S-2。

師：能不能統一下格式，像剛才一樣用含有除法的字母公式表示。

生：S=n÷2+1。

師：為了便于觀察，我統一下關系式的結構，剛才S=n÷2，我把它改寫成S=n÷2+0的形式。這時你能大膽猜一猜，當a=0時，S和n會有怎樣的關系？

生：當a=0時，S=n÷2-1。

師：當a分別等于3、4、5時，S和n又有怎樣的關系呢？

生1：當a=3時，S=n÷2+2。

生2：當a=4時，S=n÷2+3。

生3：當a=5時，S=n÷2+4。

師：這只是根據剛才兩個歸納出的關系式而做出的一種大膽猜測，那么我們的猜測是否正確，還需要……

生：（眾）驗證。

師：正好，我們有4個小組，分工合作每個小組各驗證一種情況。

匯報：（略）

猜想三：有什么規律可循？

師：a可以代表任何自然數，我們不可能把所有的情況都一一研究并加以驗證，而是通過從已獲得的簡單現象入手，發現其中的規律和現象。

師：請你觀察這些字母公式，并做一個大膽的猜測，當a=m時（m為任意自然數）多邊形的面積與邊上的釘子數會有怎樣的關系，你還能用字母公式表示出來嗎？

生：S=n÷2+（m-1）。

師：這個關系是否成立，其實數學家早就通過數學推理證明它是正確的。（介紹“皮克定理”等）

師：現在你能用發現規律來解決本節課開始的這個不規則圖形的面積嗎？

生：能。

……

案例反思：

牛頓說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發明。”數學猜想是研究科學方法論的豐富源泉，也是數學探究活動的基本方式。它要求思維主體（學生）依據已知的事實和數學知識，對研究的數學問題進行觀察、比較、歸納、類比、聯想后，對未知的量和關系做出的一種猜想和判斷。波利亞也曾說過：在數學領域中，猜想是合理的，是值得尊重的，是負責任的態度。《義務教育數學課程標準（2011年版）》也指出：學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。在平時的教學過程中，我們過多強調數學結論的嚴謹性和邏輯性，這本身沒有錯，但不應忽視學生數學猜想能力的培養，否則會導致學生想象力和創造力欠缺。因此在平時的數學教學活動中，要有意識、有計劃、有步驟地培養學生的猜想能力。這節課中，執教老師就給我們做了很好的示范。

一、猜想需要指引

數學探究活動，以問題為核心，學習任務具有一定的挑戰性，探究能充分調動學生的好奇心和求知欲。但是學生受已有知識結構、學習經驗和操作技能等因素的限制，不能像數學家那樣在紛繁復雜的問題情境中，及時捕捉、分辨、篩選出制約問題解決的相關因素和變量信息，從而提出一些科學的猜想。這就需要教師充分發揮好組織、點撥、引導、調控的作用，幫助學生不斷調整、修正、完善自己的數學猜想，從而讓學生找到猜想的正確方向，為數學探究活動成功開展奠定堅實的基礎。這就需要教師在平時的教學過程中不斷為學生的探究活動搭建各種形式的“階梯”，讓學生的探究活動得以拾階而上，最終到達成功的殿堂。案例中，當教師先出示第一組圖形時，學生通過觀察、數一數、算一算等數學活動得到第一個初步的猜想：圍成的多邊形邊上釘子數決定多邊形面積的大小，而沒有關注圖形內的釘子數也是制約圖形面積大小的關聯因素。當然這樣的猜想結果是受制于學生感知能力和學習經驗的必然結果。這時教師沒有立即否定學生的猜想，而是出示第二組多邊形，讓學生用剛才習得的學習方法再次觀察、比較。學生這時發現：這組三個圖形邊上的釘子數雖然相同，但是面積卻不相同，是因為剛才忽視了圖形內釘子數的原因。這樣的教學是學生自我反思、自我否定、自我調整、自我完善的過程。反之，如果上述過程中教師不積極介入，學生就會僅局限于問題解決的單一制約因素，從而得不到全面、科學的數學猜想，后面的探究活動縱然投入更多時間和精力也是枉然。

二、猜想需要驗證

提出科學的猜想只是邁向成功的第一步，更重要的是對提出的猜想或判斷進行驗證。經過驗證，也許有些猜想是正確的，那么就成為定理、公理、公式，并且在以后的判斷和推理、問題解決時直接拿來應用。但有些猜想經過驗證后判為錯誤，抑或還有一些數學猜想暫時受某種因素的制約，還需要進一步驗證和完善。總之，引導學生開展驗證活動是培養學生科學、嚴謹、客觀、公正的治學態度的良好契機。案例中，學生在教師的引導下，有計劃、有目的、有針對性地開展驗證活動，當圍成圖形內釘子數是1或2時，學生通過畫圖、數一數、算一算等思維活動驗證上述關系式的正確性。然后學生根據已有的兩個關系式之間的聯系，猜想出當圖形內釘子數是0、3、4、5時又具有什么類似的關系式。這時學生給出的關系式沒有經過驗證，當老師說：“那么，我們的猜想是否正確，還需要……”學生立即意識到：空口無憑，還需要驗證，并分工合作驗證不同情況的關系式。最后的公式：當a=m（m為任何自然數）時，S=n÷2+（m-1），由于受知識水平和時間的限制，學生沒有親自驗證，但是教師此時介紹國內外數學家就此問題研究的結果，并告知學生你們的終極猜想是正確的，是經過數學家嚴密論證過的，可以放心使用。在這樣的學習過程中，學生的體驗是深刻的、經驗是豐富的、情感是積極的。如果我們有意識地讓學生長此以往經歷這樣完整的探究過程，這對學生探索精神和創造能力的提升大有裨益。反之，即使學生通過驗證發現自己的猜想是錯誤的，也有利于培養學生的挫折感和堅強的意志品質。畢竟，數學探究的道路并不總是一帆風順的，更多的是充滿了坎坷和荊棘。

三、猜想需要提煉

概括規律并選擇適當的形式表示出來，是探索規律的點睛之筆。概括出規律是認識客觀對象的標志，如果能正確概括出一類對象的規律，就準確把握了這類對象的本質特點。概括規律是發展思維的極好機會，把一類對象里的規律，由表及里，由淺入深，由特殊到一般，由具體到抽象地表示出來，學生的數學思維就能得到有效鍛煉和提高。當學生用一個個含有字母的式子表示出多邊形面積和邊上釘子數的關系時，學生的思維水平就已經得到了一次提升，已經初步經歷了算術思維向代數思維轉變的過程。然而執教老師并沒有止步于此，而是讓學生觀察自己的板書。

當a=0時，S=n÷2-1；當a=1時，S=n÷2+0；當a=2時，S=n÷2+1；當a=3時，S=n÷2+2；當a=4時，S=n÷2+3；當a=5時，S=n÷2+4。

學生看到這些有著相似結構的關系式時，他們的思維再次被點燃。心中油然而生出再次歸納、提煉的強烈沖動，把上述眾多關系式合并成一個“以一馭萬”的終結式子。這時，教師一句：我們不可能把所有的情況都做一一研究并加以驗證，而是通過從已獲得的簡單現象入手，發現其中的規律和現象。猶如火星掉落到干柴上，學生的數學思維再次被激活。當教師說出：當a=m（m為任意自然數）時，學生水到渠成地提煉出：S=n÷2+（m-1）。這樣的學習過程，讓學生既經歷了從微觀上析理，又體驗到在宏觀上觀察整體結構。做到了既見樹木，又見森林。

總之，數學猜想作為一種直覺思維以及由此表現出的敏銳意識，可以幫助學生從繁雜現象中迅速捕捉各種有價值的數學信息，同時也有利于提高學生的探索精神和創新思維能力。這些能力的獲得，需要教師長期引導學生經歷完整的探究學習過程，這樣學生的猜想能力才能有質的飛躍。？筻