加強數學思想滲透 促進綜合能力提升

吳睿玲

(合肥市第十七中學 安徽合肥 230022)

引言

在利用導函數研究函數的單調性時，往往存在一種類型的問題：含參數不等式的分類討論問題。導函數是高中數學中的一個難點，而分類討論又是難點中的難點，往往位于壓軸題中。學生在分類討論這塊尤為薄弱，不清楚該怎樣去分類，甚至無從下手。于是，老師的講解顯得尤為重要!題型分析的條理性可直接影響學生的解題思路。

我們在研究這一問題時，抓住其本質離成功就更進了一步。本質上就是含參數方程及不等式的解的分類討論。大部分情況下，求導之后，經過整理、化簡，所得的方程(不等式)基本上可歸納為：含參一次、二次型不等式及含指、對數的不等式。這樣分析下來，我們知道對函數的單調性的討論其本質即是對含參不等式f′(x)>0(f′(x)<0)解的討論。找到了解決這類問題的關鍵，后面的教學也就順理成章了。結合這些年的教學實踐，要做好這塊的教學工作，有如下幾點需要注意。

一、層層滲透，在基礎教學中注重細節教學

含參不等式、方程的求解，自我們高中數學學習的開始，便有所涉及。甚至初中我們便學習過含參的一次方程的求解問題。高一上學期，我們基本上都在學習函數，里面就有很多含參的一次、二次方程的求解問題，課本復習題中也有所涉及。如必修一課本中第44頁的復習題第四題及第九題，均是含參問題。其中第四題是含參的一次方程問題，而第九題則與二次函數有關。教學中，我們可以立足這些問題，讓學生回憶總結，我們再加以引導、拓展。將這些問題拓展成一個專題，對學生而言，足以留下一個較深的印象。

教師在教學時應該有意識地加重這塊的教學力度，讓學生足夠的重視，從而打下第一重基礎。在指、對數的教學中，也可穿插一些含參的不等式與方程，于教學中層層滲透分類討論的思想。從高一時期開始便讓學生接觸并去嘗試分類討論，利用所學去解決問題，提高學生解決這類問題的信心與能力。這樣，當我們在講解與導函數相關的題型時，不會感到過分的陌生，也有了解決這類含參問題的信心，給我們的教學減輕了不少負擔。

二、問題提出須層層遞進，增強學生分析問題的能力

課堂教學中，教師的提問很有講究。層層遞進式的提問，能激發學生思考問題、探究問題、解決問題的積極性。教師主導好課堂，有效地去發問，讓學生隨著問題的提出去思考，逐步去解決問題。

例1 已知函數f(x)=x3-ax-1，試討論f(x)的單調性。

解：先求導f′(x)=3x2-a，

令f′(x)=0得3x2-a=0，

這個方程的根的情況如何？有的學生可能會本能性地直接移項得3x2=a，

這個方程有沒有解?大家很容易會想到要將a跟0作大小比較。這樣解無可厚非，卻忽略了問題本質，錯失歸納此種問題的良好時機。學生都有先入為主的思想，教師的講解最好從通用的方法開始，將這類問題歸為一類，這樣學生下次碰到相似類型時就會知道往一個方向去想。所以此處我們可先讓學生從方程的角度來思考：這是什么方程？一元二次方程的解又可以用什么來判斷呢？學生便可很自然地歸納、總結這類問題。具體可設計如下：

問：這個方程是關于x的什么方程？

生：一元二次方程。

問：更準確地來說，是個什么樣的一元二次方程？

生：含參的一元二次方程。

問：回憶二次不等式的求解過程，我們先得看相應的二次方程是否有根，那么，如何判斷二次方程的根的情況呢？

生：根的判別式。

于是學生很容易想到含參二次方程的求解方法，從而進行分類討論。

具體過程如下：Δ=12a,

(1)Δ≤0即a≤0時，f′(x)≥0恒成立，故f(x)在R上單調遞增，無單調遞減區間;

(2)Δ0即a0時，f(x)在上單調遞增,在上單調遞減。

在這題中，我們進一步提問：結合必修五含參一元二次不等式的恒成立問題，你能說說這個函數在定義域中是否可以具有單調性？問題一經提出，學生們會不由自主地去回憶關于這塊知識點的知識儲備，促進了知識點的縱向遷移與內省，從而達到升華。這道題在導函數的分類討論中只能算作一道簡單題，在講解中很容易因為它的簡單而一帶而過。但是我們完全可以引導，甚至進一步加以變形，讓難度一步步加深，做到由點及面，將問題完整化。

三、注重函數的概念課教學

概念課是數學課教學中的一個難點，函數的概念課教學又是相當難的一個難點，也是學生剛踏入高中大門便遇到的數學問題中的第一個難點，尤其對于初中函數沒學好的學生而言，更是災難。往往概念模糊不清，三要素理解不到位，如何求解函數的定義域與值域一知半解，等等這些終將是后期學習的一個巨大隱患。尤其在導函數的學習中，可能會隨時犯錯，出現問題。如作與對數函數相關的圖像時不注意定義域而使圖像與y軸相交，不熟悉指數函數的值域，而致使圖像上下無限制的延伸等等。而在到函數的分類討論問題中，函數的定義域也是常常被學生所忽略。

例2 已知f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，討論f(x)的單調性。

化簡導函數后，發現分子可直接因式分解。

對于這兩個根，我們都得考慮一個問題：是否在定義域范圍內？倘若忽略，直接影響到后面單調性結論的總結。那么這道題的得分也就失之可惜了。

四、加強學生數形結合思想的培養

數學是具有很強邏輯性的一門學科，各知識點間的聯系非常緊密。函數作為高中數學的基礎，與其他的知識點更具有著密不可分的聯系，學好函數有利于其他知識點的融合與拔高。而想要學好函數，數形結合的思想是少不了的。須在平時的教學中加以滲透。如與指、對數有關的無論是方程還是不等式,求導化簡后,都得結合這兩種函數的性質來解。如對數函數的定義域,指數函數的值域都是不能忽視的。在此基礎上,結合函數的單調性來解不等式。等等這些都少不了圖像。

例3f(x)=ex(ex-a)-a2x，

討論f(x)的單調性。

解：求導并整理f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a)，

令f′(x)=0，即2ex+a=0或ex-a=0。

師:上面兩個方程應該怎么解?指數函數的函數值有什么特點?

生:函數值均為正數

這道題中的方程就不太好解，得結合指數函數y=ex的圖像及性質，來解決這類的含參問題。此時，圖像就顯得尤為重要！這樣看下來，我們會發現，平時的拓展與滲透非常的重要。平時的教學中，在解題的同時注重函數圖像的畫法教學，強調數形結合，在導函數的教學中，畫圖，從圖中研究性質就不顯得那么難以理解了。

五、立足課本，注重課本例題、習題的講解

我們的高考具有一個共同點：與課本聯系很緊密，很多試題來自于課本例題與習題的改編。幾乎每年都會出現與課本例題或習題特別接近的題型。如2012、2016年的填空題的最后一道均來自于課本的例題的改編，還有2015年的統計題同樣是書本例題的改編，等等。既立足于課本又高于課本。在與導函數有關的題型中，有時甚至是直接用到了課本例題及習題中的結論。

(1)當a=2時，求曲線y=f(x)在點(3，f(x))處的切線方程

(2)設函數g(x)=f(x)+(x-a)cosx

討論g(x)的單調性并判斷有無極值，若有，求出極值

求導g′(x)=x2-ax-(x-a)sinx=(x-a)(x-sinx)(x>0)

令g′(x)=0，得x1=a,x2=0,

(這里有個重要結論的應用：當x>0時，x>sinx；當x<0時，x

這個重要結論其實就是來源于課本選修教材第99頁B組習題的證明題(1)。此外，同樣是這組證明的其他小題，依舊備受命題老師的青睞，往往被拿來變形，或是直接利用，成就一道高質量的高考題。所以說，立足于課本真的有它的必要性，注重課本中例題與習題的講解，為學生積累些知識儲備，做到厚積薄發。教師在平時的授課中，也可作適當的改編，提高學生的學習興趣。

通過上面的分析、歸納與解題實踐可以看出，含參的函數的單調性的討論其實并沒有那么復雜。教師平時做到層層滲透，注重學生各方面能力的培養，打好學生的基礎。在上課時,合理地設置好問題,循循善誘引導學生去思考是非常重要的!只要歸好類，將問題轉化為含參的方程或不等式問題，再借助一些相關基本初等函數的性質，是不難解決的。知道了解決這類問題的常規方法，實現對這部分內容的突破也并非難事。