一道習題的拓展與思考

徐策

摘 要：眾所周知，數學課本中的習題具有范例作用。通過對習題的深入挖掘、規范講解和適量拓展訓練，使學生深刻理解數學中的基本概念、法則、性質、定理等，從而提高學生運用數學思想方法提出、分析、解決數學問題的能力。

關鍵詞：教材習題；拓展訓練；數學思想

一、原題呈現

題目（人教版七年級下冊第五章“5.3平行線的性質”綜合運用題第7題第（2）小題）如圖所示，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（ ）

（A）180° （B）270°

（C）360° （D）540°

解析：因為AB∥CD∥EF，所以∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°，所以∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.故選（C）

二、習題拓展

拓展題： 一大門的欄桿如圖所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，則∠ABC+∠BCD=______度.

解：過B作BF∥CD，則有CD∥BF∥AE，

所以∠DCB+∠CBF=180°，∠FBA+∠BAE=180°.即∠DCB+∠ABC+∠BAE=360°.又因為BA⊥AE， 所以∠BAE=90°，所以∠ABC+∠BCD=360°-90°=270°.

三、拓展作業

作業1 如圖所示，已知AB∥CD，分別探討下面的四個圖形中∠APC與∠PAB﹑∠PCD的關系，請你從所得關系中任意選取一個加以說明.

作業2 如圖，已知AB∥CD，點E在直線AB，CD之間.

（1）求證：∠AEC=∠BAE+∠ECD；

（2）若AH平分∠BAE，將線段CE沿CD平移至FG；

①如圖2，若∠AEC=90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度數；

②如圖3，若HF平分∠CFG，試判斷∠AHF與∠AEC的數量關系并說明理由.

【設計說明】以上兩道題是關于平行線的性質的應用，在此基礎上增加了平移和角平分線的知識，需要添加輔助線構造平行線，運用類比、平移、方程等思想方法解決。同時，為了做到“下要保底，上不封頂”教學目標，分層設計布置作業，要求后進生解決第1題和第2題的第（1）題，中等生解決第2題的第（1）題和第（2）題的第①題，學有余力生解決第2題的第（2）題的第①、②題.

四、四點反思

基于以上論述，要做好四方面的工作：1、注重習題研究，發揮習題作用.法國數學家笛卡爾曾指出，我所解決的每一個問題，都將成為一個范例，以用于其它的問題.初中數學教材中的習題具有典型性、示范性及應用性。它是課時知識、技能，思想方法的載體和標桿，要求教師細心鉆研教材，準確探究教材編寫的導向作用。2、注重拓展訓練，提高知識運用.習題的拓展，直接影響學生的思維能力的拓展和發展，經過觀察、思考、訓練學生的靈感，不斷挖掘問題本質，才能水到渠成的解決一個個難題。3、注重分層教學，得到不同發展。新課程標準指出，數學教學要使學生獲得良好的基礎知識，使不同的學生得到不同的發展.分層設計布置作業也是值得關注的教學環節之一，通過適度作業拓展和分層完成，促使教學活動向以學定教，順學拓展和有一定深度的方向發展.4、注重方法滲透，培養反思習慣.數學思想方法是具體的數學知識的靈魂，它對一個人的影響往往要大于具體的數學知識。在數學教學和學習中，注重點撥，及時發現知識的生長點，思維的連接點，知識的遷移點，找準數學模型，提高解題的準確性。同時總結解題的切入點，易錯題及優點（技巧和思想方法），不斷反思，不斷提煉，不斷完善，在漫長的過程中滲透數學思想方法，提高解題能力。

參考文獻：

[1]課程教材研究所，中學數學課程教材研究所中心.義務教育教科書數學（七年級下冊）[M].北京：人民教育出版社出版社，2012.

[2]錢德春.例談教材習題對對教學的指向意義[J].中國數學教育（初中版），2015（9）.