全國高考Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)試題解析及復(fù)習(xí)思路

邊紅霞

近年來，全國高考新課標I卷中的導(dǎo)數(shù)解答題，其特點是全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，信息量大、綜合性強、靈活性高.根據(jù)統(tǒng)計，這種題得分率并不高.但它往往在是第21題的位置，又有別于壓軸題，所以，如果有足夠的知識積累，解決這道題還是比較順暢的.筆者對2016年全國I卷導(dǎo)數(shù)試題進行解析，并談?wù)剬?dǎo)數(shù)部分的復(fù)習(xí)思路.

一、 試題再現(xiàn)

已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

解析：（1）略.

（2）令f（x）=0，即ae2x+（a-2）ex-x=0，有a=2ex+xe2x+ex.

令h（x）=a，g（x）=2ex+xe2x+ex，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）與g（x）的圖象有兩個交點，g′（x）=（2ex+1）（1-x-ex）ex（ex+1）2.

當(dāng)x<0時，g′（x）>0；當(dāng)x>0時，g′（x）<0.于是，在x=0處g（x）取得極大值：g（0）=1.

當(dāng)a≥1時，h（x）=a與g（x）至多有一個零點，不符合題意；

當(dāng)a≤0時，由于當(dāng)x≥0時，g（x）>0，而當(dāng)x<0時，g（x）是單調(diào)遞增，所以h（x）=a與g（x）至多有一個零點，不符合題意；

當(dāng)0a，且g（x）在（-2，0）上單調(diào)遞增，所以h（x）=a與g（x）在（-2，0）上有且只有一個交點.

另一方面，取x0=ln3a，有

g（x0）=2ex0+x0e2x0+ex0<3ex0e2x0=3ex0=a.

在（0，ln3a）上有g(shù)（0）>a，g（ln3a）

綜上，當(dāng)0

二、試題特點

一套試題要具有較高的信度、效度、必要的區(qū)分度和適當(dāng)?shù)碾y度，既要考查考生的共同基礎(chǔ)，又要滿足選拔要求.近年的高考導(dǎo)數(shù)問題很好地貫徹了這一宗旨.試題既有對基礎(chǔ)知識的考查，如函數(shù)單調(diào)性、極（最）值、零點、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，又有綜合性考查，如求參數(shù)范圍、證明不等式等.

1.注重對基礎(chǔ)的考查

《考試大綱》對“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的要求為：了解導(dǎo)數(shù)的實際背景；通過函數(shù)的圖像直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；能利用導(dǎo)數(shù)公式及四則運算求簡單函數(shù)、簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；能利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值.如2015年21題第一問，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定曲線的切線方程.