全國卷中常見的晶體計算題型

龐玉瑩

【摘要】晶體結構的計算是物質結構與性質選做題中幾乎必考的考點，但也是學生和老師最害怕和頭疼的知識點。晶體結構的考查以晶胞為結構單元，在對物質結構理解的基礎上，考查學生的空間想象力和運用數學中的知識解決化學問題的能力。本文選取近三年高考題中幾種常見的晶體計算題型，并將其分類整理，希望能幫助廣大師生形成一定的解題思路和方法，提高解決晶體計算問題的能力，克服對晶體計算的恐懼。

【關鍵詞】均分法 配位數 密度 空間利用率

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）13-0099-02

題型一：均分法求微粒個數和化學式

晶胞中粒子數目的計算往往采用均分法，晶胞大都為平行六面體，所以位于晶胞頂點的粒子為8個晶胞共用，每個晶胞只用了該粒子的1/8；位于晶胞面心的粒子為2個晶胞共用，每個晶胞只用了該粒子的1/2；位于晶胞棱心的粒子為4個晶胞共用，每個晶胞只用了該粒子的1/4；位于晶胞體心的原子為1個晶胞共用，該粒子全部被一個晶胞占有。若晶胞不是平行六面體，則需要根據粒子實際所處環境進行計算。

例1：（2016年全國2卷節選）

某鎳白銅合金的立方晶胞結構如圖所示。晶胞中銅原子與鎳原子的數量比為_____。

答案：3：1

解析：在立方晶胞中，根據均分法，銅原子位于立方體6個面心，每個晶胞含有銅原子個數為6×1/2=3；鎳原子位于立方體8個頂點，則每個晶胞含有鎳原子個數為8×1/8=1。因此晶胞中銅原子與鎳原子的數量比為3：1。

變式1.（2015全國2節選）

A（O元素）和B（Na元素）能夠形成化合物F，其晶胞結構如圖所示。F的化學式為；

答案：Na2O

解析：根據均分法，大黑球處在8個頂點和6個面心上，則每個晶胞含大黑球數為8×1/8+6×1/2=4；小黑球處在立方體內（實際為內部八個小立方體的體心），則每個晶胞含小黑球數為8。所以得出微粒個數比為2：1，化學式是Na2O。

題型二：平移法判斷配位數和微粒位置

晶胞是晶體結構的最小重復單元。一個晶胞通過前后、左右、上下的平移，可以與另一個晶胞完全重合，對應的原子也重復出現。判斷微粒的配位數要充分結合晶胞的特征，通過晶胞的平移，判斷未畫出微粒的存在及其位置。

例2（2017全國1卷節選）

鉀和碘的相關化合物在化工、醫藥、材料等領域有著廣泛的應用。

（1）KIO3晶體是一種性能良好的非線性光學材料，具有鈣鈦礦型的立方結構，晶胞中K、I、O分別處于頂角、體心、面心位置，如圖所示。與K緊鄰的O個數為__________。

（2）在KIO3晶胞結構的另一種表示中，I處于各頂角位置，則K處于______位置，O處于______位置。

答案：（1）12；（2）體心，棱的中點

解析：（1）根據晶胞的結構，處在面心的O離K最近。選取右上方的K為中心，則右側面心上的O距離最近，通過該晶胞向上平移，得到上側晶胞也有一個面心O也是距離，最近再將所得兩個晶胞向后平移，再得到距離相等的2個面心的O，所以在該晶胞右側面上有距離最近的4個O；同樣前側面心和上側面心的O也是距離最近的，同樣平移可以得到各4個距離相等的面心O，因此得到在三個互相垂直的面上，距離K最近的O的個數為3×4=12個；

（2）在已知KIO3晶胞結構中，K、I、O分別處于頂角、體心、面心位置，可知I與K距離為體對角線的一半，I與O距離是棱長的一半。所以，若I處于各頂角位置，則K處于體心，O處于棱的中點上。

變式2.（2016年全國Ⅰ卷節選）

鍺（Ge）是典型的半導體元素，在電子、材料等領域應用廣泛。回答下列問題：

原子坐標參數，表示晶胞內部各原子的相對位置。Ge單晶具有金剛石型結構，下圖為Ge單晶的晶胞，其中原子坐標參數A為（0，0，0）；B為（，0，）；C為（，，0）。則D原子的坐標參數為______。

答案：（；；）

解析：根據Ge單晶具有金剛石型結構，可以推知體內共4個Ge原子，每個Ge原子與最近的頂點或面心的4個Ge原子構成正四面體構型。將晶胞分成8個小立方體，則體內的4個Ge原子位于對角位置的小立方體的體心，得出D處在A、B、C點和左側面心圍城的四面體體心，則D原子的坐標參數為（；；）。

題型三：定義法和構造法結合計算晶體密度、微粒半徑、空間利用率晶體密度、微粒半徑、空間利用率

這是全國卷高考中經常出現的計算，要求學生對掌握晶體的空間結構，有熟練的計算方法，整體難度較大。晶體密度的計算常幾何密度的定義式ρ=m/V，找出晶胞對應的質量和體積。晶胞質量的計算結合題型一再晶胞微粒數的計算，而晶胞體積的計算需要先知道晶胞參數。晶胞參數有時是已知的，若是未知則需要學生構造出晶胞的堆積模型，常見的有面心立方和體心立方，再結合微粒的半徑，找出微粒半徑與晶胞參數的關系。空間利用率的計算中，找出微粒半徑和晶胞參數的關系，結合球的體積和立方體體積的公式進行計算。

例3-1.（2017全國3卷節選）

MgO具有NaCl型結構（如圖），其中陰離子采用面心立方最密堆積方式，X射線衍射實驗測得MgO的晶胞參數為a=0.420nm，則r（O2-）為________nm。MnO也屬于NaCl型結構，晶胞參數為a'=0.448nm，則r（Mn2+）為________nm。

答案：0.148；0.076

解析：計算MgO中r（O2-）時，因為r（O2-）>r（Mg2+），所以采用O2-的面心立方最密堆積方式，即沿著對角線方向上，3個O2-是相切的，面對角線是O2-半徑的4倍，即4r（O2-）=a，解得r（O2-）=nm=0.148nm；

計算MnO中r（Mn2+）時，因為r（Mn2+）>r（O2-），則晶體中原子沿著棱是相切的，即晶胞參數=2r（O2-）+2r（Mn2+），則r（Mn2+）=（0.448nm-2×0.148nm）/2=0.076nm。此題需要考慮微粒的半徑判斷其在晶胞中的位置關系，找出微粒半徑與晶胞參數的關系，難度較大。

變式3-1.（2016年全國3卷節選）

砷化鎵（GaAs）是優良的半導體材料，可用于制作微型激光器或太陽能電池的材料等。回答下列問題：

GaAs的GaAs的熔點為1238℃，密度為ρg·cm-3，晶胞結構如圖所示。該晶體Ga和As的摩爾質量分別為MGag·mol-1和MAsg·mol-1，原子半徑分別為rGapm和rAspm，阿伏伽德羅常數值為NA，則GaAs晶胞中原子的體積占晶胞體積的百分率為____________________。

答案：

解析：根據GaAs的晶胞結構，可知Ga和As的個數都是4，根據球體的體積公式可知，晶胞中原子所占體積為

晶胞體積為，

所以GaAs晶胞中原子的體積占晶胞體積的百分率為

晶體結構的計算考查題型較單一，運算方法也比較系統，掌握以上題型的計算方法，可以幫助考生順利突破晶體的相關計算。