高三微專題復(fù)習(xí)模式探究——由《圓的方程》課例引起的思考

黃雅麗

【摘要】高三一輪復(fù)習(xí)的重點是以課程標準和考試大綱為依據(jù)，以教材為根本，意圖在于加強雙基教學(xué)，提高學(xué)生的解題能力，如何提高高三復(fù)習(xí)課堂的有效性是我們追求的目標。利用微專題復(fù)習(xí)模式，可以與專題復(fù)習(xí)相結(jié)合，不但可以提升學(xué)生的解題能力，也可促進教師本身的進步，真正做到教學(xué)相長。

【關(guān)鍵詞】一輪復(fù)習(xí) 微專題 課堂有效性

【中圖分類號】G633.41 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）13-0063-02

一、學(xué)情分析

《圓的方程》是高三一輪復(fù)習(xí)的一節(jié)課，本班學(xué)生基礎(chǔ)較好，注意力能夠較長時間集中，學(xué)習(xí)目的明確，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有濃厚的興趣，前面已經(jīng)掌握了直線與方程的內(nèi)容，已經(jīng)具備用代數(shù)方法解決幾何問題的能力，能用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決解析幾何的問題。

二、課堂實錄

師：上節(jié)課我們復(fù)習(xí)了解析幾何中有關(guān)直線與方程的相關(guān)內(nèi)容，理解了用代數(shù)的方法來研究圖形的幾何性質(zhì)，進一步體會了數(shù)形結(jié)合的思想。在此基礎(chǔ)上，這節(jié)課我們來復(fù)習(xí)圓的知識，進行一個專題復(fù)習(xí)——圓的方程。

我們先來看目標導(dǎo)引的問題：ΔABC的三個頂點為A（-1，2），B（2，1），C（3，4）。求ΔABC外接圓的標準方程。

師：如何求解ΔABC外接圓的方程呢？

生1：設(shè)ΔABC外接圓的一般方程，列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，通過解方程組得解；

生2：設(shè)ΔABC外接圓的一般方程，列出關(guān)于a，b，r的方程組，通過解方程組得解；

師總結(jié)：上述兩位同學(xué)用到的求解方法叫做待定系數(shù)法，兩種方法中標準方程的運算量較大，一般方程更為簡潔。

師追問：是否有其他方法可以解決這個問題呢？我們可否結(jié)合幾何圖形，從中確定圓的兩大要素——圓心和半徑。

生3：由AB，BC的中垂線的交點確定圓心，進而得到半徑；

生4：結(jié)合題意可以證明ΔABC是直角三角形，確定AC的中點為此外接圓的圓心，進而得到半徑。

師總結(jié)：上述兩位同學(xué)用到的方法是幾何法，通過分析幾何圖形，簡化幾何條件，確定圓心和半徑。上述兩種方法就是今天復(fù)習(xí)的內(nèi)容。

師：請看例1：一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為______

師：同學(xué)們用了哪種方法解決這個問題？

生1：可由任兩邊中垂線的交點來確定圓心。

師追問：橢圓有四個頂點選哪三個頂點呢？

生2：已知條件知圓心落在x軸的正半軸上，例如，對于ΔA1B1A2中垂線的交點落在y軸負半軸上；ΔA2B1B2中垂線交點落在x軸的負半軸上，以此類推，可以確定是ΔA1B1B2。

師總結(jié)：這題是求三個頂點確定三角形外接圓的方程。難點是四個頂點中選哪三個頂點，由已知條件圓心落在 軸的正半軸上，再結(jié)合圖形分析，可確定三個頂點，又回到了目標導(dǎo)引的問題，這里不再重復(fù)。通過本道題，我們復(fù)習(xí)鞏固了有關(guān)圓方程的求法，接下來我們進一步來學(xué)習(xí)圓及圓方程的簡單應(yīng)用。

師：請同學(xué)們繼續(xù)看例2：已知實數(shù)x，y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求：（1）y-x的最小值；（2）的最大值和最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值

師：這是一道以圓的方程為背景，探求二元變量x，y的最值問題。求解最值問題的方法有哪些呢？

生1：函數(shù)法（消元思想）、幾何法（關(guān)注目標函數(shù)及幾何意義）、基本不等式（尋求和或積為定值）

師追問：那么你打算如何解決這個問題呢？

生1：以（1）問為例，t=y-x可表示直線與y軸相交的縱截距，當該直線與圓相切時的縱截距即為最大值或最小值。

生2：可從代數(shù)的角度解決這個問題，以（3）為例，結(jié)合圓的方程可得x2+y2=4x-1，，利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可求得最值；也可結(jié)合圓的參數(shù)方程（θ為參數(shù)），利用三角換元轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的函數(shù)，即可解決此問題。

師總結(jié)：剛才兩位同學(xué)從幾何和代數(shù)的角度分別對該題目進行了剖析，對于給定代數(shù)式幾何特征較為明顯的，用幾何法來做；但若幾何特征不夠明顯的，應(yīng)從函數(shù)角度入手。

師：求軌跡問題的方法有哪些呢？

生1：直接法、定義法（幾何法）、待定系數(shù)法、坐標轉(zhuǎn)移法

師：用哪種方法取決于動點所滿足的幾何條件，若動點滿足某種曲線的定義，則用定義法；若動點滿足已知曲線類型，則用待定系數(shù)法；若動點的軌跡類型無法確定，則用直接法。我們來看例3：已知圓x2+y2=4上一定點A（2，0），B（1，1）為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點。求線段AP中點的軌跡方程。

生1：設(shè)AP中點為N，N隨P的運動而運動，N是被動點，P是主動點，可用坐標轉(zhuǎn)移法來解決。

師追問：解決這類問題的策略是將被動點的關(guān)系轉(zhuǎn)化為主動點的幾何關(guān)系。除了上述方法，有沒有其他方法呢？

生2：由AP為圓的弦且N為AP的中點可得ON⊥AP，即∠ONA=90°，可得N點的軌跡是以（1，0）為圓心，1為半徑的圓。

師總結(jié)：很好，這位同學(xué)能從圖形出發(fā)，充分挖掘圖形的幾何特征，找到垂直關(guān)系，得到動點所滿足的關(guān)系。

師追問：將此題做個變式：若∠PBQ=90°，求線段PQ中點N的軌跡方程。

師：這里是雙動點問題，無法像上題那樣直接求解，我們應(yīng)想辦法減少動點個數(shù)，將動點所滿足的幾何關(guān)系簡化為與定點的關(guān)系，再進行求解。

分析：在ΔPBQ中，N為PQ的中點，可得：

由PQ為圓的弦，且N為PQ的中點，可得ON⊥PQ

即在ΔONP中，有：

即：

師總結(jié)：求解軌跡方程的方法有很多種，同學(xué)們應(yīng)認真分析題意，作出幾何圖形，簡化幾何條件，選擇恰當?shù)姆椒ń鉀Q問題。