“平面向量基本定理”教學設計

張榮延 王冬晴

一、教材分析

1.地位和作用

“平面向量基本定理”是人教 A版必修 4第二章第三節的第1課時，屬于概念性知識，在向量知識體系中占有核心地位。在本節課之前，學生學習了向量的線性運算及“向量共線定理”，可以利用它與“平面向量基本定理”的升維類比關系引入課題。因此平面向量基本定理的研究綜合了前面學習過的向量知識 ，同時又為后繼的內容作了奠基，起到了承前啟后的作用。

2.重點和難點

重點：平面向量基本定理的發現理解和初步應用。難點：平面向量基本定理中的任意性、存在性和唯一性。

3.目標分析

知識與技能目標：掌握平面向量的基本定理及其簡單應用。

過程與方法目標：以學生為主體，分層探究平面向量基本定理中的任意性、存在性和唯一性，讓學生經歷平面向量基本定理的發現和形成過程，充分領悟類比轉化、數形結合的數學思想方法。情感態度與價值觀目標：培養學生觀察、歸納、猜想能力，發現問題、探求問題的能力，邏輯推理能力以及科學的思維方式。

二、設計理念

本節課從情景問題出發，引出兩個具體的問題，通過師生互動、討論和分析得到猜想，進而通過作圖分解、論證、多媒體演示等方式驗證猜想中的任意性、存在性，得到定理的雛形，然后從數形兩個角度說明基底的不唯一性，完善定理的內容，最后揭示定理的意義和應用價值，提高學生對知識體系的整體認識。

三、教學過程

1.設置情景，引入新課

師：大家小時候都玩過滑梯嗎？那你們有沒有想過為什么我們能從高處沿著滑梯滑到地面呢？

生：因為地球引力、人的重力……

師：可以用學過的物理知識去解釋，是因為重力的分解。如果將這個問題轉化為數學問題，就是：一個向量分解成兩個方向上的向量，那反過來說就是兩個方向上的向量可以表示同一平面內的某一個向量。兩個方向上的向量是否可以表示平面內的任意向量呢？

[設計意圖] 從學生熟悉的力的分解和合成等物理背景出發，引導學生思考：對于給定平面內任一向量，是否可以類似地進行分解和合成？ 從而將目標引向教學主題。

2.問題探究，構建規律

問題1：兩個方向上的向量可以表示平面內任意向量嗎？

根據問題1引導學生動手做圖（如圖1），

同時利用多媒體進行演示（如圖2）：

（1）定起點——在平面內任取一點O；

（2）平移——將三個向量平移到同一起點O；

（3）構造——平行四邊形；

（4）共線——向量共線定理。

探究結論：兩個方向上的向量可以表示平面內的任意向量，并且有唯一的實數λ1，λ2使得它們之間的表達式為。

[設計意圖] 建構主義的學習觀認為 ：“學生的學習不是被動接受的過程，而是在已有知識經驗的基礎上對新知識的同化、順應、重建，進而形成新的知識結構的過程”，在這一環節中通過數學實驗，讓學生動手做圖，自主探索，積極思考，大膽概括，主動構建，并向學生滲透了數形結合的思想。

引領反思，類比再探

問題2：在問題1中我們給定的是兩個不共線的向量，那么兩個共線向量可以表示任意向量嗎？

生：好像可以表示。

師：若兩個共線的向量可以表示，那么只能是與共線的那些向量，而不是任意的向量。

探究結論：平面內兩個共線向量不能表示任意向量。

[設計意圖] 新課程標準中對平面向量基本定理的要求是了解，而本節課使用了兩個問題去發現、驗證和理解，一方面，希望學生能夠認識到這個定理的價值；另一方面，希望學生通過這節課的探究，經歷一個數學概念形成的過程，體會其中蘊含的合理的思維方式。

3.總結規律，得出結論

師：根據以上探究請同學們歸納猜想平面向量基本定理？

生：（學生交流討論，教師啟發引導）若是同一平面內兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1，λ2，使。——平面向量基本定理

師：在這個定理中我們需要注意的有哪些？

生：①是同一平面內兩個不共線的向量；②實數λ1，λ2是唯一的；③等式。

師：向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底，這組基底又是否唯一呢？

（學生討論并回答）此時教師利用幾何畫板在圖2的基礎上再次作圖（如圖3）：過點O任意作出另外兩個向量，再構建一個平行四邊形，會發現這組向量也可以表示任意的向量，即也是表示這一平面內任意向量的一組基底。

探究結論：基底是不唯一的。

[設計意圖] 首先通過師生的共同探究，由學生根據探究口述定理，然后教師進行完善并歸納平面向量的基本定理，而且在探究的整個過程中學生都處于思維活躍的狀態，定理中需要教師“一個定理，三項注意”的提醒。

4.簡單應用，鞏固新知

例 已知向量，求作向量。

[設計意圖] 以課本中熟悉而簡單的問題，使學生初步掌握在具體問題中用基底來表示相關向量，體會向量的應用，加深對平面向量基本定理的認識。

5.變式訓練，熟練技能

變式 設，點P在線段BN上，若，求實數m的值。

[設計意圖] 定理的認識和理解是一個循序漸進、逐步深化的過程，通過本題的訓練，能使學生鞏固知識、拓展能力、理解和深化對定理的認識與延伸，建構全面、良好的數學認知結構。

6.交流心得，提高認識

師：這節課學習了什么內容？有哪些關鍵詞？要注意哪些問題？

生：這節課我們主要學習了平面向量基本定理，關鍵詞：在平面內；兩個；不共線的向量；有且只有，要注意的問題是實數的唯一性和基底的不唯一性。

7.任務后延，拓展探究

[設計意圖] 必做題是對課內知識的鞏固，選做題是為了讓學有余力的學生能夠有充分的發展空間。

四、教學反思

本節課的設計有三個指導思想，分別是：發現和認識平面向量基本定理的形成過程；探究平面向量基本定理中的“三項注意”；處理好數學抽象與直觀圖像的關系。其中最有效的方法就是引導學生“再創造”。使學生深入認識新概念新思想。

參考文獻：

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[2]張奠宙.數學教育概論[M].北京：高等教育出版社，2016.

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