討論思想在高中數學解題中的應用

顏湘玉

【摘要】討論思想是基于數學思維上建立的特殊的解題方法。討論思想融合了對數學問題的認識和解決。隨著數學難度的提升，討論思想在教學中的地位也逐漸提升，高中學生掌握了討論思想，就能快速有效地解決數學問題。本文針對討論思想在高中數學解題中的應用進行了分析研究。

【關鍵詞】高中數學 分類討論思想 應用

【中圖分類號】F224.9 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）19-0063-02

一、討論思想概述

有些數學問題，其答案并不是確定而唯一的。當我們進行到某一個步驟時，往往發現問題中含有幾種情況，此時不能將幾種情況一概而論，而要捕捉影響條件分支的重要因素。在一定的范圍里，根據題目的要求，將情況分類成不同條件再進行討論，才能真正探究出問題的解決思路。在面對數學題時，要保持清醒的分類意識，仔細閱讀題目，明確是否需要分類。在確定分類后，要找出題干中的關鍵信息，根據給出的條件正確分類。要堅守一個標準原則，不重復統計某一種情況，也不漏掉任何一種情況。分好類后，要順著這個類別的樹干往下延展，順著思路分類討論，對所有情況進行整理，歸納總結出最后的結果。數學解題中，分類思想在不同問題中都有應用。例如函數、概率、數列、解析幾何等都需用到分類思想。學生熟練運用分類思想，不僅在解題時游刃有余，對學生思維的邏輯性、條理性和概括性都有極大的幫助。

二、討論思想在高中數學解題中的應用分析

分類思想作為探究和解決問題的常用方法，在高中數學解題過程中發揮了關鍵性作用。分類可以看作是化整為零，再逐個擊破的過程。在數學解題中，分類可以化復雜為簡單，化難為易。在幫助學生解題時，在進行分類的思維過程中，學生的歸納、總結能力也得到了鍛煉與提高。

1.討論思想在數列中的應用

數列是高中數學的重要模塊，在高考數學中具有十分重要的地位。討論思想作為高中數學的一種重要思維方法，在數列問題中也得到了廣泛應用。通過舉例分析分類討論思想在數列中的應用，加深了學生對分類討論思想的理解，增強了他們分類討論的意識，提高了他們分析問題、解決問題的能力。下面，筆者以數列通項公式的求法、數列求和為例，具體說明分類討論思想在數列中的應用。

例如：假設q為等比數列{an}的公比，前n項和Sn>0（n=1，2，3，4……），那么q的取值范圍是多少？

由于本題中對q的范圍沒有明確說明，因此在求解過程中需要分類討論，不能直接利用公式Sn=a1（1-qn）/（1-q）。解析：由于{an}是等比數列且Sn>0，可知a1=S1>0，q≠0。那么：

（1）當q=1時，Sn=na1>0

（2）當q≠1使，Sn=a1（1-qn）/（1-q）>0，即（1-qn）/（1-q）>0（n=1，2，3，4……），這時可得到1-q<0且1-qn<0 或1-q>0且1-qn>0。

2.討論思想在函數中的應用

分類討論思想在高中函數學習中得到了廣泛的應用。例如，函數定義域的求法，函數解析式的求法，函數最值的求法，函數單調性、奇偶性的討論，以及與導數有關的綜合問題等等。通過舉例分析分類討論思想在函數中的應用，促進了學生對分類討論思想基礎知識的理解，增強了他們分類討論的意識。

例如：函數 y=（m+2）x?﹢?+3x-2（x≠0）為一次函數時，m的值是多少？由于題目中已知該函數為一次函數，而（m+1）x?﹢?可能為零、常數項或一次項，因此需要利用分類討論的思想來進行求解。具體求解過程如下：

（1）當m+2=0，即m=-2時，函數y=3x-2，此時該函數為一次函數。

（2）當3m+2=0，即m=-時，函數y=3x-2，此時該函數為一次函數。

（3）當3m+2=1且m+2≠0，即m=時，函數y=x-2，此時該函數為一次函數。

3.討論思想在幾何中的應用

將討論思想應用于幾何解題中，需要以題設條件為依據進行劃分，避免漏解，確保解題的準確。例如：圓柱的側面展圖為矩形，其中矩形的邊長為 2和 4，求出圓柱的體積。由該題的題設條件可知圓柱的底面圓周長可變為 2，高可為 4。

解析：（1）如果圓柱的高為2，r1=4/2π，因此v=πr1?h1=（4×2）/π=8/π；（2）如果圓柱的高為4，r2=2/2π，因此v=πr2?h2=（1×4）/π=4/π。由此可知：圓柱的體積為8/π或4/π。

三、加強討論思想應用的優化策略

分類討論思想在日常解題和高考中的應用十分廣泛，但部分學生在實際解題過程中還存在諸多問題。如討論充分遺漏、分類標準不明確、討論結果不準確等，從而導致分類討論思想的應用效果不佳。因此，高中數學應用分類討論思想解題時，需要詳細了解分類標準，有效梳理解題思路，保證解題的準確性，提高思維的嚴密性。我們通過高中數學解題中幾個應用實例的討論，從兩個方面探討科學學習討論思想的策略。

第一，高中生應有層次的進行習題練習。首先要加大習題練習，使高中生能夠通過大量習題練習，對涉及分類討論思想題型和內容有一個整體的了解，從而使學生遇到問題后，能根據日常練習的邏輯思維解答題目。其次與傳統習題練習方法不同，習題練習過程中應明確題目的層次性。可將一個章節的學習時間，或一次抽查考試間隔時間為周期，對自身進行思想層次的考察。再從不足之處入手，采用循序漸進的方法，對題目所涉及的整個體系開展研究，使討論思想得以強化。

第二，要激發學生自主思考的潛意識，除了采用加強練習的方法，還可以激發學生的主觀能動性，加快學生討論思想的養成。在此過程中，可采用一題多解的方式，也可采用案例研究的方式，讓學生積極參與到課堂分組教學中。這種例題鉆研模式，能使學生真正參與到課堂思考和發散思維學習中，使學生習得討論思想應用的精髓。

四、結束語

分類思想對高中數學問題的解答有較大的作用。分類思想的靈活運用與否對高中生的思維敏捷性與細致性提出了考驗。在平常的學習中要累積經驗，對運用到分類思想的數學問題做出歸納與總結，再遇到類似問題時，便可輕松應對。對于相關的數學問題，在解答時，要善于觀察題干給出的關鍵性信息，作為解題線索，按照相應的數學定理或公式進行正確分類。分類過程要仔細，不重復不遺漏，按照對應的層次一步一步作答。最后進行整合與總結，做出正確的答案。

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