有理數(shù)乘法法則“負(fù)負(fù)得正”的五種教學(xué)法

沙稼璐

【摘 要】根據(jù)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）7-9年級數(shù)與代數(shù)部分的教學(xué)要求，筆者查閱各版本初中數(shù)學(xué)教材、初中數(shù)學(xué)及小學(xué)奧數(shù)教輔用書中“負(fù)負(fù)得正”相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì)、教法、解法，提出總計(jì)兩個(gè)大類、五種解決方法，有理數(shù)乘法法則。

【關(guān)鍵詞】課程分析；教學(xué)設(shè)計(jì)；有理數(shù)乘法法則；負(fù)負(fù)得正

【中圖分類號】G633 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）21-0008-02

引言

有理數(shù)乘法法則作為初中數(shù)學(xué)課程教育的一大基石，也是初中義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程“數(shù)與代數(shù)”部分的基礎(chǔ)。有關(guān)于有理數(shù)乘法法則教學(xué)設(shè)計(jì)的話題討論經(jīng)久不息，其中對于“負(fù)負(fù)得正”的討論與設(shè)計(jì)更是匯集了前人無數(shù)智慧并渴望將其解決的。筆者通過查閱，匯總各類初中數(shù)學(xué)版本教材、初中數(shù)學(xué)及小學(xué)奧數(shù)教輔用書中“負(fù)負(fù)得正”相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì)、教法、解法，提出總計(jì)五種解決方法，希望有理數(shù)乘法中“負(fù)負(fù)得正”這一課程難點(diǎn)教學(xué)提供一些幫助。

基礎(chǔ)解釋方法：引入現(xiàn)實(shí)問題，建立對應(yīng)模型。

數(shù)學(xué)起源于人類早期的生產(chǎn)活動(dòng)，可以說數(shù)學(xué)自誕生起便是直接服務(wù)于實(shí)際生活的一門學(xué)科，引入現(xiàn)實(shí)問題，建立對應(yīng)模型是幫助理解、記憶數(shù)學(xué)原理和規(guī)律最常用的方式，下文通過建立類似“1+1=2”對應(yīng)“一個(gè)蘋果加一個(gè)蘋果等于兩個(gè)蘋果”，的現(xiàn)實(shí)模型，從現(xiàn)實(shí)問題出發(fā)引入解釋“負(fù)負(fù)得正”。

導(dǎo)入：乘法法則的初步學(xué)習(xí)中，人教版通過對“一個(gè)人有兩個(gè)蘋果，那么四個(gè)人有幾個(gè)蘋果？”一類問題的思考進(jìn)行引入，再通過引入兩個(gè)不同的量，人和蘋果，定義乘法并得出：

2+2+2+2=2×4，得出：2×4=8個(gè)。

負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)中，人教版首先通過“比沒有蘋果還少一個(gè)蘋果”的思考，“0-1=？”的思考進(jìn)行引入，再通過依靠建立具有相反意義的模型，如將今天記為0，明天記為1，得出昨天記為-1，從而解釋了正數(shù)的相反數(shù)——負(fù)數(shù)，此部分，通過類似的方法：引入現(xiàn)實(shí)問題，建立對應(yīng)模型。

方法一：建立兩組具有相反意義的量的模型

方法一導(dǎo)入：選取三種生活中的例子，從現(xiàn)實(shí)生活中解釋負(fù)負(fù)得正。提出測量類模型，運(yùn)動(dòng)類模型，以及“司湯達(dá)之問”的負(fù)債模型共計(jì)三種具有相反意義的量的模型作為參考。

以上三種模型就本質(zhì)而言均為建立兩組具有相反意義的量進(jìn)行解釋，掌握本質(zhì)后，可以舉出眾多例子。

測量型模型：我們通過題目來引入講解：某氣象站測得海拔每升高1千米，溫度降低0.6度，觀察地點(diǎn)的氣溫是0度；試問：在觀察地點(diǎn)以上2千米的地方氣溫是多少度？觀察地點(diǎn)以下3千米的地方氣溫是多少度？

規(guī)定，氣溫升高為正，氣溫下降為負(fù)觀察地點(diǎn)以下為負(fù)，觀察地點(diǎn)以上為正。

可知：

每升高1千米，海拔+1；溫度降低0.6度，溫度-0.6

每降低1千米，海拔-1；溫度升高0.6度，溫度+0.6

①觀察地點(diǎn)以上2千米的地方氣溫是

（-0.6）×（2）=1.2度

海報(bào)增加1km溫度變化量×海拔增加千米數(shù) =觀察地點(diǎn)地方氣溫

②易得上述問題觀察地點(diǎn)以下3千米的地方氣溫是的算式為：

（-0.6）×（-3）=1.8度

總結(jié)：建立兩組具有相反意義的量的模型中測量型模型是一種常見的證明方法。說明過程簡單易懂。

運(yùn)動(dòng)類模型：我們同樣通過題目來引入講解：一個(gè)人沿著公路慢跑，一直向東方行走，速度5公里每小時(shí)，請問下午4點(diǎn)時(shí)，他回頭跑到下午1點(diǎn)所在位置需要奔跑的距離是？

規(guī)定：選定向東的方向?yàn)檎较颍蛭鞯姆较驗(yàn)樨?fù)方向。

①依照時(shí)間的順序，表示為：

將來的時(shí)間使用正值，表示過去的時(shí)間使用負(fù)值，

人的初始位置在零點(diǎn)，初始時(shí)間也設(shè)定為0。

依照方向的順序，表示為：

向右走為正值，向左走為負(fù)值。

②下午1點(diǎn)距離下午4點(diǎn)所在的時(shí)間是-3小時(shí)

每小時(shí)行進(jìn)距離-5公里（向西）

易知：他距離現(xiàn)在所在位置的距離（ -5 ） ×（-3） = 15 公里

總結(jié)：建立兩組具有相反意義的量的模型中運(yùn)動(dòng)類模型是一種不常見的證明方法。說明過程中往往需要運(yùn)用到時(shí)間概念。時(shí)間的概念需要初中物理知識作為支撐，運(yùn)動(dòng)類模型在各類教材版本中往往出現(xiàn)于課后習(xí)題（如蘇教版、人教版、北師大版等），少見于直接證明。

負(fù)債模型：

負(fù)債模型由數(shù)學(xué)見M.kelien正式提出并廣泛為人接受。我們同樣通過題目來引入講解約定：某人每天支出5元人民幣，給定日期4天后，此人負(fù)債20元人民幣。

①采取記債：支出5人民幣記為：-5；

每天支出5人民幣，負(fù)債4天可以數(shù)學(xué)表達(dá)：（-5）× 4 = - 20。

同樣一人每天負(fù)債5人民幣，那么給定日期4天前，他的財(cái)產(chǎn)比給定日期的財(cái)產(chǎn)多20人民幣。

（-4）：表示4天前；

（-5）：表示每天負(fù)債；

②那么4天前，此人經(jīng)濟(jì)情況為：（-5）×（-4）=20。

方法二：建立向量模型，引入數(shù)軸表示法。

導(dǎo)入：數(shù)軸表示法是小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的一種基本方法，數(shù)軸作為圖形更加直觀，兼顧復(fù)習(xí)已學(xué)，聯(lián)系新知識，有承上啟下的作用。因此，運(yùn)用向量模型中的數(shù)軸表示法作為一種數(shù)學(xué)情景的講解不失為一種好的課程教學(xué)辦法。

數(shù)軸模型：規(guī)定數(shù)軸的正方向?yàn)闁|，負(fù)方向?yàn)槲?一個(gè)人在數(shù)軸的原點(diǎn)處，一2看作向西運(yùn)動(dòng)2米，（一3）×（一2）看作沿反方向（東）運(yùn)動(dòng)2次，結(jié)果向東運(yùn)動(dòng)了6米，

所以（-3）×（-2）=6.

〖XC44.JPG；%30%30〗

數(shù)理邏輯解釋方法：利用已知數(shù)理知識，計(jì)算推導(dǎo)證明結(jié)論

導(dǎo)入：義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中，學(xué)生學(xué)習(xí)依靠反復(fù)的運(yùn)算和實(shí)踐，將諸如數(shù)學(xué)中的結(jié)合律、分配率等進(jìn)行了強(qiáng)有力的驗(yàn)實(shí)，達(dá)到對對應(yīng)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)計(jì)算方法和運(yùn)算法則的理解。這部分參照國內(nèi)教材，部分修改與調(diào)整，，列舉三種經(jīng)典的針對初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)理邏輯解釋方法，從具體到抽象（純數(shù)字和理論），通過數(shù)學(xué)的計(jì)算推導(dǎo)，使用數(shù)理邏輯解釋或者證明“負(fù)負(fù)得正”。

方法三：使用觀察歸納法證明負(fù)負(fù)得正

導(dǎo)入：歸納法通過對現(xiàn)實(shí)的觀察、探索、分析、推理、歸納五個(gè)部分，獲得合情推理得到結(jié)果，是人類認(rèn)識世界最原始也是最基礎(chǔ)的方式。有關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”的問題，在教學(xué)的前期使用歸納法，引入知識同時(shí)鍛煉學(xué)生的探究意識。一般的歸納模型作為不完全歸納，并不完整，此處補(bǔ)充觀察歸納方法。

〖XC45.JPG；%30%30〗

歸納得出：“當(dāng)乘數(shù)增加1，最后乘積減少2”；“當(dāng)乘數(shù)減少1，最后乘積增加2。”

由此寫出右邊算式的結(jié)論。歸納得出：“負(fù)負(fù)得正”這一結(jié)論。

觀察歸納法需要教師一步步詳細(xì)的指引，朱文芳《初中生函數(shù)概念發(fā)展的研究》一書中，表明58.6%的初一學(xué)生難以使用變化的觀點(diǎn)解決數(shù)學(xué)問題。此類方法出現(xiàn)于部分教材的引入部分。

方法四：使用分配律證明負(fù)負(fù)得正

導(dǎo)入：據(jù)北京1969版的數(shù)學(xué)教材，運(yùn)算律分配律作為公理，使用分配率證明負(fù)負(fù)得正。對于分配率證明負(fù)負(fù)得正，近年的教材中并不再出現(xiàn)，究其原因：運(yùn)算律應(yīng)該產(chǎn)生于運(yùn)算之后，使用運(yùn)算律證明運(yùn)算的法則的做法并不可取。此處對原書中數(shù)學(xué)推理作相關(guān)的修改優(yōu)化，部分用語文字化以降低理解難度，過程如下：

①使用構(gòu)造法：

由：3×（-2）+3×（2）

=3×[（-2）+2] = 3 × 0 = 0

所以構(gòu)造有：3 ×（-2）+ 3 ×（2）= 0

移項(xiàng)有：3 ×（-2）+ 3 ×（2）- [3 ×（2）] = 0 – [3 ×（2）]

所以有：3 ×（-2）= – [3 ×（2）]

②類比以上過程：

由：（-3） ×（-2）+ （-3） ×（2）

= （-3） × [（-2）+ 2] = （-3） × 0 = 0

所以有：（-3） ×（-2）+ （-3） ×（2）= 0

移項(xiàng)有：（-3） ×（-2）+ （-3） ×（2）- [（-3） ×（2）] = 0 – [（-3） ×（2）]

所以有：（—3） ×（-2）= – [（-3） ×（2）]

因?yàn)椋酣C [（-3） ×（2）] = 3 × 2

所以最終有：（—3） ×（-2）= 3 × 2

③由此得出結(jié)論：使用分配律證明負(fù)負(fù)得正。可以看出，證明過程通過 “保持”運(yùn)算律從而得到法則，與正常教學(xué)中運(yùn)算應(yīng)先規(guī)定法則再驗(yàn)證運(yùn)算律不同。

方法五：使用相反數(shù)證明負(fù)負(fù)得正

導(dǎo)入：據(jù)華師版，人教版教材，使用相反數(shù)證明負(fù)負(fù)得正。相反數(shù)的定義賦予了其在“負(fù)負(fù)得正”數(shù)學(xué)推理中的簡便，是最常見的數(shù)理邏輯解釋方法。

①通過舉例特殊情況下：

3 × 2 = 3 + 3 = 6；

（-3） ×2 = （-3） + （-3） = -6；

通過： （-3） ×2 = （-3） + （-3） = -6；

（-2） ×3 = （-2） + （-2） + （-2） = -6；

- （2 ×3） = - 6；

由以上三式有結(jié)論：（-3）×2 =（-2） ×3 = - （2 ×3）；

對負(fù)負(fù)得正的情況： （ -3）×（-2）= -[ 3 ×（-2）] = - [-6] = 6

②一般情況下，m、n均為正整數(shù)下，類比特殊情況可以寫出：

m × n = m + m + m+ … + m 共計(jì)n項(xiàng)

= mn；

（-m） ×n = （-m） +（-m）+ …+ （-m） 共計(jì)n項(xiàng)

= -mn；

通過：（-m） ×n = （-m） + （-m）+ …+ （-m） 共計(jì)n項(xiàng)

= -mn；

（-n） ×m = （-n） + （-n）+ …+ （-n） 共計(jì)m項(xiàng)

= -mn；

- （n ×m） = - mn；

由以上三式有結(jié)論：（-m）×n =（-n） ×m = - （n ×m）；

對負(fù)負(fù)得正的情況： （ -m）×（-n）= -[ m ×（-n）] = - [-mn] = mn

③由此得結(jié)論：（ -m）×（-n）= -[ m ×（-n）] = - [-mn] = mn

特殊情況下即為：（ -3）×（-2）= -[ 3 ×（-2）] = - [-6] = 6

語言敘述為：有理數(shù)乘法中，一個(gè)因數(shù)換成它的相反數(shù)，所得乘積為原式子乘積的相反數(shù).

以上方法經(jīng)歷了特殊到—般再到特殊，具有具體直觀的特點(diǎn)，通過歸納和類比，最終達(dá)到使用相反數(shù)證明負(fù)負(fù)得正。

參考文獻(xiàn)

[1]龔烈炯.“負(fù)負(fù)得正”教學(xué)再思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008（8）.

[2]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）. 北京 . 北京師范大學(xué)出版社.

[3]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì). 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）解讀. 北京 . 北京師范大學(xué)出版社.

[4]馬復(fù).義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（七年級上冊）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2005.