高中數學立體幾何解題技巧管窺

福建省莆田市第十中學 范彩雙

立體幾何屬于高中數學體系中的重要構成部分，由于知識內容較為抽象，理解起來難度較大，是學習難點之一。在高中數學教學中，如何有效解答立體幾何問題是師生共同關注的重點，該類數學題的主要核心是夾角、平行、垂直和距離等之間的關系，且根據相應的概念與定理對各種幾何圖形進行分割和使用，這對學生的基礎知識掌握和解題技巧的應用要求較高。

一、熟練掌握立體幾何知識，奠定堅實解題基礎

從高中數學立體幾何知識本身來看并不復雜，但如果把其他數學知識和幾何問題結合在一起，問題就變得復雜起來。在高中數學立體幾何教學中，要想幫助學生掌握更多的解題技巧，教師首先需注重理論知識的教學，要求他們做到熟練掌握，包括有關定理、定義和概念等，并了解立體幾何知識點之間的內在聯系，逐步構建完整的立體幾何知識體系，然后再將其他數學知識和立體幾相結合，掌握復雜立體幾何問題的解題技巧。學生通過對立體幾何知識的不斷積累，以理解為基礎增強記憶，使他們在實際解題中熟練應用。

例如，在高中數學立體幾何大題中，通常會出現面面角、線面角和線線角的求解方法。下面針對線面角的求解做具體分析：第一，需要了解線面角的范圍，以免在解答過程中出現多個答案，導致解題錯誤現象的出現。第二，學生需要熟悉記憶有關線面角的解題公式，線面角的解題方程通常有兩種，其一是借助向量的方法建立一個三維直角坐標系，把需要求的線段以向量的方法表示出來，之后采用線面角的求解方法與向量法的化簡技巧來解答。其二是采用立體幾何思維找出圖形中線面角的關系，計算出所需線段的長度，結合面面角的求解方式來解答。

二、結合立體幾何知識特點，發展學生思維空間

在學習高中立體幾何知識過程中，教師需幫助學生建立空間思維，這是解題的關鍵和根本，他們利用自身的空間思維可以快速了解立體幾何題目中的題干，為解題做準備。當學生形成一定的空間思維之后，他們在解答立體幾何問題時，可以在原立體幾何圖形中添加適當的輔助線，將求解目標變得更清晰。在高中立體幾何教學中，學生思維空間的建立，僅靠理論知識的學習是難以形成的，且短時間內也很難形成，教師可結合立體幾何知識特點，引導他們認真觀察與思考生活中的立體圖形，逐步發展和提高其空間思維。

比如，在解答立體幾何題目時，通常會遇到部分特殊的立體幾何題，題干中涉及一些立體幾何圖形。如果學生的思維空間能力較弱，他們很難從中確定正確的解題思路，解題方法更是難以找到。此時，教師可組織學生結合生活中的類似圖形進行對比，親自制作一個簡易樣式的立體幾何圖形，將抽象化的數學問題變得形象化，幫助他們找到合適的解題方法，使其思維空間得到培養與提升，而且在制作簡易立體幾何圖形時，還能夠不斷增強他們對特殊立體幾何體圖形性質的認知與記憶。此外，教師可借助多媒體技術的優勢培養學生的思維空間，在互聯網平臺上搜集和整理一些有關立體幾何圖形翻轉的動態圖或視頻，讓他們在觀察和思考中不斷強化自身的思維空間。如此，通過制作簡易立體幾何圖形和研究多媒體資源，學生在觀察中思維得以發散，思維空間得以提高。

三、豐富立體幾何練習解答，鍛煉學生解題技巧

在高中數學立體幾何教學中，為幫助學生更好地掌握解題技巧，離不開大量立體幾何類習題的訓練，通過解題經驗的積累和知識的實際應用，使其在實際解題中掌握更多的技巧，且愈加熟練。當然，高中數學教師在開展立體幾何習題訓練活動時，不能是純粹地為了練習而練習，在選擇習題時要注重質量而不是數量，引領學生不斷總結相應的解題方法，通過長時間的積累逐步提升他們的解題能力。在解答立體幾何題目時，要用到多種數學思想方法，如函數思想、空間思想和化曲為直思想等以及夾角和距離的應用。

在這里，以函數思想在立體幾何解題中的應用為例，如圖所示，PA與圓O所在的平面垂直，圓O直徑是AB，C是圓周上的一點，假如∠BAC＝α，PA＝PB＝2r，那么異面直線PB與AC間的距離是什么？

解題分析：第一步分析直線AC與PB之間的距離，盡量求出直線PB上任何一點到直線AC之間的最短距離，且設定變量建立相應的目標函數，借此求出目標函數的最小值。首先在直線PB上取任意一點M，確保MD與AC垂直于點D，且MH與AB垂直于點H。接著，設MH＝x，MH與平面ABC垂直，AC⊥HD。則有MD2＝x2＋[（2rx）sinα]2＝（sin2α＋1）x2－4rxsin2α＋4r2sin2α＝（sin2α＋1）[x－2rsin2α/（1＋sin2α）]2＋4r2sin2α/（1 ＋ sin2α）。當 x＝2rsin2α/（1＋sin2α）時，MD最小，能夠求得兩異面直線之間的距離。在解答該題目時，關鍵是把兩條異面直線之間的距離轉換為異面直線上兩點之間的距離，進而求最小值。

總之，高中數學立體幾何問題是一種復雜多變的題型，在解題過程中需要借助函數、向量等知識，并詳細分析幾何圖形中的常見關系，以堅實的理論知識為基礎、良好的空間思維能力作支撐，以此為導向逐步提高學生的立體幾何解題水平。