如何在小學數學教學中幫助學生建構方程模型

賴敏賢

【摘要】模型思想，是指運用數學的語言、知識和思想去研究和描述現實世界的典型問題的內部規律。方程是在未知數和已知數之間建立相等關系的數學模型。在天平情景中，感知方程模型；在分類概括中，建構方程模型；在生活情景中，應用方程模型。在方程模型的建構過程中，讓學生經歷“問題情景——建立模型——應用模型”的數學活動過程，感悟方程模型的本質。

【關鍵詞】模型 方程模型 建構 小學數學

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）03-0156-02

所謂模型思想，是指運用數學的語言、知識和思想去研究和描述現實世界的典型問題的內部規律。而方程是描述現實世界中相等關系的數學模型。認識方程的意義，不僅僅只是認識方程的顯性特征：含有未知數的等式。更要感悟方程的隱性特征（本質特征）：未知數與已知數同等地位、體現數量間的相等關系。教學應從學生熟悉的簡單而豐富的生活情景中喚醒學生已有的知識經驗，把對問題和結果的關注引向對等量關系上來。可是受小學4年算術思維的影響，學生常常認為“=”表示的是結果，不能將“=”看作是連接兩邊算式的“橋梁”，進而找不到相等關系。那么如何在教學中幫助學生構建方程模型呢？

一、在天平情景中，感知方程模型

《標準（2011年版）》明確指出，在數學教學中應當引導學生感悟建模過程。在小學數學教學中，從學生熟悉的簡單而豐富又感興趣的生活情景中，選取鮮活有趣的素材，喚醒學生已有的知識經驗。天平作為一種直觀認識方程模型的有效教具，它能非常直觀地引導學生觀察左右兩邊物體的質量關系，進而用語言進行描述，用符號表示，這是建模的重要基礎。在平衡與不平衡的現象中，理解等式與不等式的含義。從現實模型到算式表達，初步感知方程模型。

例如，在教學“方程的意義”時，先在課件出示天平直觀圖，讓學生說說對天平的認識。然后出示左圖。

問：你能用一道式子把這種平衡的狀態表示出來嗎？

生：50+50=100.

師繼續追問：等號的左右兩邊分別表示什么？為什么用等號表示？

通過追問，引導學生把注意放在天平左右兩邊質量相等時，可以用等號連接起來。接著把2個50克的砝碼換成了一個空杯子，天平也保持平衡狀態，得出空杯子的質量也是100克。

師：向空杯子中加入一些水，天平會發生怎樣的一些變化？

生：天平不再平衡，向左邊傾斜。

師：說的真好，那左邊杯子和水共重多少克？用式子表示呢？

生：100+x

課件動態演示：在天平的右邊增加100克砝碼。

師：仔細觀察，現在天平出于什么狀態？你能用一個式子描述一下現在天平的狀態嗎？

生：天平還是向左邊傾斜，用式子100+x<200表示。

接著課件演示在天平右邊再增加100克砝碼。

師：你能用一道式子把這種不平衡的狀態表示出來嗎？

生：100+x>300。

最后，通過調整砝碼，天平平衡了。

師：那你能用一道式子表示現在的相等關系嗎？

生：100+x=250。

學生匯報后追問：為什么用“=”表示？

……

以上的直觀演示，天平由平衡到不平衡再到平衡，這個過程讓學生深刻感悟到，只有兩邊的質量相等時，天平才平衡，才能用等號連接左右兩邊的式子。初步讓學生認識到：等號不僅可以表示左邊算式的計算結果，還可以是連接兩邊算式的橋梁，初步建立等式的“結構性”的表象，也就是在未知量和已知量之間建立的等量關系，初步感知方程的模型。

二、在分類概括中，建構方程模型

在方程模型的建構過程中，學生主要通過觀察、分析、抽象、概括、判斷等數學活動，完成模型抽象，得到模型，這是建模最重要的一個環節。分類能將模糊的事物變得清晰，更能反映事物的本質特點。通過觀察算式，經歷二次分類，體會概念的形成過程并歸納概括出方程的意義，有效地完成對方程模型的建構。

例如“方程的意義”教學片段：

師：同學們，請你仔細觀察，你能按一定的標準把黑板上的算式分成兩類嗎？

學生小組討論。

生：我是把含有“=”的算式分成一類，有“>”、“<”的分一類。

師順勢介紹：像這樣表示左右兩邊相等的式子叫等式（并用集合圈把等式圈起來）。請同學們再觀察等式的特點，你能把等式分成兩類嗎？

生：我是這樣想的，含有未知數的分一類，不含未知數的分另一類。

師：你真會總結，像這樣含有未知數的一類我們把他們稱為方程，你能用自己的話說說什么是方程嗎？

生：含有未知數的等式就是方程。

課件出示：判斷下面的說法是否正確。學生先獨立思考

含有未知數的式子叫方程。（ ）

所有的等式都是方程。（ ）

所有的方程都是等式。（ ）

判斷完成后出示集合圖。

引導學生通過對得到的式子進行二次分類，發現同樣是表示相等關系的式子，有些是含有未知數，有些是不含有未知數，這時抽象概括出方程的意義，已是水到渠成。在課堂上設計判斷題，讓學生自主發現方程與等式的關系，加深對方程意義的理解。

三、在生活情景中，應用方程模型

數學來源于生活，應用于生活。從天平情景中抽象出方程模型，再用建立的方程模型解決生活中的數學問題，讓學生體會到學習數學的用處、快樂和成功感。初步建立的方程模型需要在教師精心設計的問題情景中實踐應用，進一步體驗方程模型的價值。當學生遇到問題時會有意識使用方程模型來解決時，就體驗出“問題——模型——應用”的全過程。

例如“方程的意義”教學片段。

師：同學們，我們已經知道什么是方程，下面我們一起用方程解決生活中的數學問題可以嗎？

1.請你用方程表示下面的數量關系。

師：請同學們心里想著天平，列出方程，并說說“=”的左右兩邊各表示什么？

2.不同情景，列出相同的方程。

（1）

（2）

（3）一輛汽車，以每小時x千米的速度行了4小時，共行了400千米。

讓學生獨自完成，并交流討論。

師：請同學們觀察這3道題，你有什么發現？

生：題目不一樣，列出的方程卻相同。

師：咦，老師覺得奇怪了，3個問題情景各不相同，卻可以列出相同的方程呢？

生：因為它們說的其實是同一件事情，都表示相同的數量關系，可以用“每份數×份數=總數”來表示。

師：你的總結太到位了！不同的情景可以列出相同的方程，同一個方程可以表示相同的數量關系。想想看，還有那些問題也可以用4x=400來表示呢？

生：5年級有4個班，每個班發了x本書，一共發了400本書。

……

從前面天平中的相等關系，到兩輛車上的人數相等，再到相等關系隱藏在同一輛車中的數量，從直觀到抽象，這樣安排符合學生認知的規律，并引導學生從現實的生活情景中抽象出用文字表達的相等關系，并用方程表示出來。而在第2題的練習中，讓學生用同一個方程表示一類問題的數量關系，將問題中非本質的情景剝離，剩下相同的結構，感受方程模型的應用。

綜上所述，建構方程模型是一個綜合性的過程。在教學活動中，教師通過逐層深入，引導學生經歷方程模型的建構全過程，可以加深學生對方程本質的深刻理解，深化知識的結構。并且在解決問題中，學以致用，凸顯方程的價值。經過逐層抽象，方程模型能在學生腦海中逐漸建立起來。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）.北京師范大學出版社.2012年.

[2]曹紅艷.“方程的認識”教學片段與反思.小學數學教育.2017.1-2.

[3]姚玉茜.融入現實情景，構建“方程”模型.基礎教育研究.2014年123月（上半年）.

[4]張齊華.方程：從概念走向模型.教育研究與評論.小學教育教學.2013年第2期.