高等數學中分部積分在分析力學中的應用

丁金鳳

摘要：高等數學作為一門基礎學科，具有高度的抽象性和嚴謹性，并具有極其廣泛的應用，本文結合筆者的研究方向，探討了高等數學在分析力學中的作用，通過三個力學模型說明高等數學中分部積分在分析力學中的具體應用。

關鍵詞：高等數學；分析力學；應用

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）18-0226-02

一、高等數學的重要性

數學一詞在西方源于古希臘語，意思是通過學習獲得的知識。從字面意思來看，早期的數學更接近人類的生活。數學與其他事物一樣，經過不斷的演化，將生活中具體的事物、規律不斷的抽象化，變成如今我們所數學的數字、公式和定理。今天，除了中小學階段學習的初等數學在實際生活中會偶有應用，大家對大學時學習的高等數學的應用性產生了懷疑，疑問為什么要學習高等數學？這些抽象的數字、符號、公式、定理等跟他們的生活有什么聯系呢？高等數學作為一門必修課，學了有何作用呢？事實上，高等數學的用途遠遠超乎人們的想象，尤其在信息化的當下，幾乎無處不在。我們幾乎每天都會接觸到的手機、電腦，經常要用到搜索功能、語音識別、詞典翻譯等，這些功能的實現離不開高等數學的參與。舉個例子，學生們在學習線性代數時會覺得除了能解線性方程外，看不出線性代數還能做什么，搜索引擎中要對成百上千篇文章，數以百萬計的關鍵詞做分類，這時候就要用到線性代數中的奇異值分解，通過計算機進行奇異值分解就能完成近義詞分類，將文章進行分類，還可以得到每個主題、每個詞語之間的關聯性，也就是我們在百度一個問題時想要的結果和相關聯的結果都會出現。由此可見，高等數學與我們實際生活息息相關，大到航天、能源等方面，都需要用到高等數學的知識，同時高等數學在其他學科的發展中也起著基石的作用。坐在課堂上學習高等數學，學生們會覺得高等數學是一門高深難懂的課程，但是數學的本質卻是直接而簡單的，當人們運用數學這個工具解決了一個又一個實際問題中的難題時，總不禁感嘆高等數學的無窮魅力。

二、高等數學中微積分的起源

微積分的創立首先是為了解決17世紀主要的科學問題，有四種主要類型的問題：（1）已知位移可表述為時間的函數，求任意時刻的速度和加速度；（2）任意曲線的切線問題；（3）求函數的最大、最小值問題；（4）求曲線弧長，曲線所圍的面積，曲面所圍的體積，物體的重心問題。微積分問題至少被17世紀十幾個大數學家探索過，如羅貝瓦爾、費馬、巴羅等都探討了如何求切線的問題。17世紀，求曲線弧長、面積、體積、重心的工作始于開普勒，后來沃利斯、尼爾、費馬等也得出了重要結論。實際上在牛頓和萊布尼茨做出他們的沖刺之前，微積分大量的工作已經累計起來了。在數學和科學的發展中，普遍的工作淹沒在細節里，需要有足夠的想象力和魄力將這些碎片組織起來，在微積分中這兩位偉人便是牛頓和萊布尼茨。

三、分析力學介紹

18世紀以來，由于機械工業的大發展，提出了大量新的力學問題，這些問題中需要處理互相約束的物體組成的系統，分析力學就是在解決這些問題的過程中發展起來的，理論力學以牛頓定律為基礎，主要采用數學中的幾何方法研究力學系統，與理論力學不同，分析力學是數學中的分析法，更側重于能量。分析力學是運用純粹數學分析的方法研究質點系的機械運動，它開辟了解決受約束的物理及更復雜的物體系的運動和平衡的新途徑。分析力學的基本內容是闡述力學的基本原理，通過力學變分基本原理導出物體的運動微分方程，在此基礎上進一步研究方程特點以及積分方法等。力學變分原理具有高度的統一性與普遍性，更適用于受約束的復雜質點系。分析力學廣泛應用于工程技術領域，如自動控制、宇宙力學、一般鏈式理論等。下面將通過不同的力學模型，闡述在分析力學的研究中通過力學變分原理求解系統的運動微分方程時，高等數學中分部積分的應用。

四、幾類分析力學模型舉例

（一）一般完整系統的Lagrange動力學方程

我們所研究的力學系統大都是含有約束的系統，所以研究非保守力學系統更具有實際意義。

完整非保守Hamilton原理可寫成：（δT+Qδq）dt=0，下面通過分部積分計算導出Lagrange方程：

δq+δ？搖+Qδqdt=0

其中δ=δq，利用分部積分可得：

-+Qδqdt+δq=0

利用邊界條件，得到完整非保守系統的Lagrange方程：-=Q

（二）基于El-Nabulsi動力學模型的Birkhoff力學系統的動力學方程

2005年El-Nabulsi提出了類分數階模型，這一類模型中利用廣義分數階外力來體現實際中所受到的廣義外力，但在計算中不出現分數階計算，同時又解決了非保守系統的建模問題。

求積分泛函在給定邊界條件下的極值問題，根據變分原理，泛函取極值的必要條件是δS=0，即：

δS=δ（R-B）（t-τ）dτ=（δR+Rδ-δB）（t-τ）dτ=0

上述計算中需要用到高等數學中的分部積分，即

Rδ（t-τ）dτ=R（t-τ）δa？搖-δa（t-τ）-R（α-1）（t-τ）dτ=-（t-τ）+R（1-α）（t-τ）δadτ

代入，求得該模型下系統的運動微分方程：

---=R（μ=1，…，2n）

（三）含時滯的非保守系統的運動微分方程

時滯動力系統普遍存在于自然和工程實際中，它是對力學系統更本質、更真實的描述。

完整非保守系統的Hamilton原理為（δL+

Qs″δq）dt=0，滿足邊界條件，將各項代入，得到：

（t）+（t+τ）+Qs″（t）δq+

（t）+（t+τ）？搖δdt

下一步計算中使用分部積分，并利用邊界條件得到含時滯的非保守力學系統的運動微分方程，可稱為含時滯的非保守力學系統的Lagrange方程：（t）+（t+τ）-（t）-（t+τ）=Qs″（t），（t1≤t≤t2-τ）

（t）-（t）=Qs″（t），（t-τ

五、結語

通過上述列舉的三類模型：完整非保守系統、基于El-Nabulsi動力學模型的Birkhoff力學系統、含時滯的非保守Hamilton系統，通過變分原理，利用分部積分得到相應的系統的動力學方程，進而通過動力學方程研究該系統的動力學行為。高等數學在分析力學中的應用可見一斑，分析力學的發展研究離不開高等數學這一有力基石，諸如機械設計與制造專業、土木工程專業、工程力學專業等，這一類工科專業需要用到的高等數學知識較多，如果高等數學的基礎較差，會造成后續的專業課學習比較費力，這類專業在大一時期學習高等數學時教師可以將高等數學在相關專業的應用舉例講給學生聽，避免學生覺得高等數學學習枯燥無用。通過了解高等數學的實際應用提高學生學習高等數學的積極性，并與后續的專業學習相結合，為專業學習打基礎的同時提高學習高等數學的內驅力。

參考文獻：

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[2]吳軍.數學之美[M].北京：人民郵電出版社，2014.

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