《線性代數》課程序言部分教學要點分析

康浩　付超　張鑫　侯美伶　孫永彪

摘 要：對大多數理工科專業而言，線性代數是一門十分重要的課程。線性代數的序言部分，主要是對線性代數課程進行宏觀的介紹，并且引入二階和三階行列式的概念。教學中應該調節好學生的心理狀態，注重定義以及之間的聯系，突出重點進行講解，以確保這部分內容的教學效果。

關鍵詞：行列式 線性代數 序言 學習心理

《線性代數》是很多理工科專業的一門基礎課程，是學習后續專業課程的基礎課。同時，《線性代數》還是考研的必考科目。因此，搞好《線性代數》的教學工作具有重要的意義[1]。《線性代數》的序言部分是帶領同學們進入線性代數殿堂的第一課，是學生們與線性代數的初次相識，“第一印象”十分重要。如果能夠讓學生們對線性代數的研究內容產生興趣，充滿信心，那么日后的教學過程都將變得簡單。反過來說，如果學生們在聽這部分內容的過程中不能對線性代數的研究對象進行透徹完整的了解，而只是被動地聽到了教師對行列式、矩陣、向量組、方程組等等抽象的數學名詞的乃至彼此之間關系的介紹，他們很可能就會對線性代數望而卻步，日后再想讓他們充滿信心和興趣可能相對就比較難了。總而言之，線性代數序言部分的講解也是教學中很重要的一個環節，有必要對其教學要點進行分析。

一、教學內容總結

任何一門課程都有序言部分，《線性代數》課程的序言部分主要也是作為一個總開端，對《線性代數》進行介紹，導入后面的核心內容。從教學內容上看，序言部分包括兩大方面：第一部分，主要是帶領學生們認識《線性代數》這門課程，知道《線性代數》在整個專業培養計劃中所處的地位，了解線性代數的研究對象與課程特色，掌握學習線性代數的方法；第二部分，主要是通過方程與行列式的關系，引入二階和三階行列式的定義、計算及簡單的應用，為后續推廣到n階行列式的相關內容打好基礎。

二、學生心態把握

大學生作為經過全國高考統一考試選拔出來的優秀人才，事實上，他們當中的大多數都是精力充沛，積極樂觀，求知欲旺盛，此處主要分析學生中可能影響學習的負面心理，旨在有的放矢地促進教學效果。第一， 在課程設置上，《線性代數》多安排在第一學年的第二個學期上課，學生們在經歷了大一上學期的《高等數學》的學習以后，多會對數學類課程產生一種“畏難”情緒，嚴重的甚至會厭煩數學類的課程。因此，作為一門數學類課程，《線性代數》首先可能會或多或少地受到學生們心理上的抵觸，這就形成了《線性代數》的一個“先天劣勢”。第二，課堂中的學生們往往來自不同的省份，數學功底各不相同，有的學生中學階段沒有學過任何行列式知識，有的學生甚至沒有學過向量，從心理上，他們對序言部分內容的興趣也是不同。第三，《線性代數》序言部分的講授處于新學期的起始階段，甚至被安排在新學期第一周的第一節課，好多學生經過了返回學校的行程，疲憊感還沒有完全消除，也還沒有從“假期綜合癥”中恢復過來。此時，學生們的心態還有所浮躁，對課程內容的吸收能力有限。第四，新學期新課程的開始階段，學生們與教師也是初次見面，有些學生對教師本身的外在形象比較敏感，對于教師的教學特色和個人魅力還處于觀望狀態，對于課程本身的注意力不足，大部分同學還都存有首先觀望老師的心態，想看看老師的“水平”，往往只有很少一部分同學會對即將開始的課程進行預習。第五，在當今的快節奏時代，各種各樣的信息量鋪天蓋地，學生們主動或者被動地面對很多信息已經成為一種常態，學生們多重視應用，重視看得見摸得著的現實的事例，對于抽象的數學概念及數學邏輯興趣不足，這也是線性代數序言教學中所無法忽視的。

三、教學設計分析

基于以上分析，在序言部分教學中應把握以下幾個方面：第一，，講解的深度宜淺不宜深，盡量從實際事例中引入方程組和行列式。對于二元線性方程組，如果用諸如“雞兔同籠”問題引入，可以很容易地使學生們契入到對問題思考中，加強他們的參與意識，使他們很快進入角色。《線性代數》本身是一個復雜的課程，其中的行列式、方程組、向量組和矩陣等各種的概念互相交叉[2]，想學好是很不容易的。但在序言部分，如果過多地引用《線性代數》的專業術語，例如用逆序數法定義行列式[3]等等，這將增大學生們聽課的難度，容易使得一部分學生從課程一開始就對《線性代數》望而卻步。實際上，《線性代數》也有簡單的一面，從一定程度上說，《線性代數》書中的概念與中學知識的銜接并不太大，它的幾乎所有定義都是獨立于之前的高中數學的函數、不等式、二次曲線等復雜數學知識的。學好《線性代數》并不需要很扎實的數學基礎知識，只要學生們能夠入門，能夠進入到《線性代數》的思維方式，教學工作就成功了一大步，后續的具體計算中，大多也都是100以內的加減乘除，所以應極力避免一上來用復雜的講解把學生“當頭打蒙”，反過來說，深入淺出地講解更有助于增強學生們的信心，持續不斷地激發他們的學習興趣。第二，對于《線性代數》的研究對象應該講解到位。首先，應該要介紹清楚“線性”所代表的含義。“線性”，從運算上來講，主要也就是加減和數乘運算，不涉及到變量之間的乘積。用學生們的知識結構可以理解的話來講，《線性代數》研究的核心問題也就是解方程組。這樣的一種講解方式，更利于學生們對《線性代數》的研究內容進行整體的很好的把握，更容易把學習與應用結合起來。第三，應當要講解好《線性代數》的學習方法。學習方法聽起來雖然抽象，但能否把學習方法講解好卻是很考驗一個教師對整門課程的把握的一個重要體現。畢竟，只有在對課程整體的很好的把握的前提下，才能高屋建瓴地提出對《線性代數》的最適宜的學習方法。對大多數高校《線性代數》課程的教學和期末考試而言，對思維深度的要求并不是很高。然而，線性代數涉及到行列式、矩陣、向量組、方程組等理論，各個理論獨立完善且互相之間也都有聯系，因此熟練地從一種理論敘述轉換到另一種理論敘述是學完本課程后所應達到的對知識“學活學透”水平的一種體現，這對思維的靈活性要求很高。而達到這一水平的前提，就是要對定義有熟練透徹的掌握。線性代數的學習方法，也應當是重視對基本定義的掌握。為了達到這一目的，要有必要的練習。這個學習方法，應該跟學生們講解透徹。第四，在課堂上要增強學生們的參與意識，要讓他們成為推動課堂活動往下進展的主人，要讓他們的大腦活動起來。例如，在消元法解二元線性方程組時，可以讓學生們真正動手去做，讓學生們親身體會消元的過程，讓他們自己去發現方程組的系數行列式出現的過程以及該行列式在方程組解的表達式中所處的位置。從而，使得行列式的引入不會顯得特別突兀，也為學生們對后續課程中克萊默法則的學習產生良好的鋪墊作用。通過構造系數行列式以及通過用方程組的常數項來替代系數行列式的列向量來構造行列式，通過此類行列式的比值來求解方程組是本節中的新的方法，應努力使學生們對此種求解方法產生新的印象，看到行列式在求解方程組中的不可替代的作用，這一過程，也應當努力想辦法讓學生們最大限度地參與進來，充分利用好課上時間，讓他們學有所得。第五，要注意講解好二階和三階行列式的定義。二階與三階行列式雖然簡單，但是它們畢竟是不同于以前的新的定義，從行列式的形式到它的內容，都要讓學生們建立起完整的概念。形式上，二階行列式，就是兩行兩列的數表兩邊加上兩個豎線，內容上，行列式是一個式子，對于數表中是已知數值的情況，行列式就是一個可以計算的數值。如果行列式中存在未知變量，那么行列式與一個數值的相等，就構成了一個方程。事實上，行列式的定義也包含了它的求解方法，行列式的表達式中很容易看出來它的計算方法——對角線法則。首先要把主對角線和副對角線的概念給學生們講解清楚。對于行列式的表達式而言，每一個乘積項的元素都是由不同行不同列的元素所組成的，注意到這一點，學生們就不會丟落元素，而能夠把行列式表達式完整準確地表示出來。同時很重要的是，應當要強調對角線法則只適用于二階與三階行列式，對于高階行列式，對角線法則將不再成立。事實上，如果結合后續章節中關于行列式的嚴格定義的話，容易知道，這主要是由于行列式表達式中參與加減的各個乘積項都是且是所有的不同行不同列的元素的乘積，對角線法則中所確定各個乘積項的方法顯然不可能把所有的乘積項表達出來，所以，對角線法則對于4階及更高階的行列式不再成立是有充分理論支撐的。

結語

綜上所述，《線性代數》課程序言部分的教學工作十分重要，它關系到學生們對線性代數整個這門課程的認識問題，關系到學生們學習的信心和學習的興趣的問題。教學中應未雨綢繆，細致地把握好現場學生的心理狀態，提前重點做好教學設計，深入淺出地開展講解，激發學生的信心與能動性，為后續克萊默法則的教學打好直接的基礎，也為《線性代數》教學開一個好頭，為《線性代數》整體內容的教學做好鋪墊。

參考文獻

[1] 段煉，方賢文.線性代數教學中高階行列式若干計算方法探究[J].教育教學論壇，2017（36）：195-196.

[2] 居余馬等.線性代數（第2版）[M]. 北京：清華大學出版社，2002

[3] 劉玉軍，陸宜清.線性代數[M]. 上海：上海科學技術出版社，2017.

作者簡介

康浩（1987- ），男，漢族，河北行唐人，河北師范大學，講師，博士，研究方向：建筑環境與能源應用工程專業相關課程教學。