圓錐的（體積）變化

劉善娜

（作者單位：浙江寧波市奉化區實驗小學）

【教學時機】

人教版六年級下冊，圓錐的體積學習之后。

【教學過程】

一、回顧圓柱與圓錐的關系

1.看式子畫圖形。

看著 3.14×32×4÷3=37.68（平方厘米），請你描述一下這是一個怎樣的圓錐？

2.請畫出這個圓錐以及與它等底等高的圓柱的草圖并標注相關數據。

【設計意圖：從式子想象圖形，進一步掌握與圓錐體積計算相關的基本數據?！?/p>

二、三角形旋轉，構成圓錐

1.要使三角形旋轉形成圓錐，必須是什么三角形？以哪條邊為軸旋轉？

想象、描述、作圖：直角三角形，一條直角邊為軸，另一條直角邊為底面半徑。

師：以哪條邊為軸，體積更大？為什么？

師：如果這個直角三角形的一條直角邊為4，另一條直角邊為3，試著求出這兩個立體圖形的體積。

小結：以較長的直角邊為半徑，得到的體積更大。

【設計意圖：想象和描述是空間觀念培養的主要途徑，因此要多讓學生經歷想象、描述、作圖的過程，并通過草圖，掌握圖形的特征?！?/p>

2.如果是以斜邊為軸旋轉，會形成什么圖形？想象、描述、作圖。

問1：這個直角三角形的一條直角邊為4，一條直角邊為3，則斜邊為5，你能求出它的體積嗎？

問2：能試著先確定思路嗎？

畫截面圖，標注數據→嘗試

討論：先求半徑，再設高為x和（5-x）。

（視學生解答情況進行引導）

小結：上下兩個圓錐等底面，因此兩部分的“高”可以融合。

【設計意圖：以斜邊為軸的立體圖形的體積計算難度較大。但是拓展一下，有利于培養學生利用草圖去分析的意識和能力?！?/p>

三、圓錐和圓柱的關系

1.畫等底等高的一對圓錐與圓柱。

【設計意圖：學生到了六年級，已經具備一定的分析能力，而且學生又有了三角形與平行四邊形的變化經驗，因此圓柱和圓錐的變化不再借助具體的數據，而是通過直觀感知來確定“大小”?！?/p>

2.畫等底等體積的一對圓錐與圓柱。

（1）學生嘗試畫。

（2）呈現正確作品，交流。

問：圓柱的高度，你是怎么確定的？

充分交流，多種思考角度：

①體積公式數據推理。

根據題意，可知Sh柱=Sh錐÷3→h柱=h錐÷3

（3）呈現畫錯的作品，引導學生自己分析錯誤。

【設計意圖：確定圓柱的高度，對學生而言是比較難的。因此需要多角度幫助不同層次的學生理解“變化”。】

3.畫等高等體積的一對圓錐與圓柱。

（2）學生上臺展示，說理。

交流的核心問題：圓柱的底面大小，你是怎么確定的？

【設計意圖：學生有了“確定高”的經驗，“確定底面”教師就可以放手由學生來展示、說理，多角度表達自己的理解。】

4.跟進思考。

試著填一填“等（）等（），圓錐（）是圓柱的（）”。

小結：等底等高，圓錐體積是圓柱的三分之一；等底等體積，圓錐高是圓柱的三倍；等高等體積，圓錐底是圓柱的三倍。

追問：為什么后兩種情況“等體積”時，作為“弱者”的圓錐的“高”和“底”，反而是圓柱的三倍了呢？

【設計意圖：在學生的印象中，圓錐是“弱者”，他們會習慣于回答圓錐的（）是圓柱的三分之一。通過草圖繪制，使學生從抽象的變化感知走向具體的大小感知?！?/p>

四、全課總結（略）

【教學建議】

等底等高的圓柱與圓錐的體積關系，學生不難掌握。但一旦逆向，如變成“等體積等高求底面積”的情況，學生就會混亂。在畫圖過程中，要把握好幾個點：

一、掌握畫圖技巧：“底”和“高”能直接畫，要先畫好

“等高”“等底”是可以直接用草圖表示出來的。如畫一對“等底等體積”的圓柱和圓錐，等底，就先畫兩個小橢圓，很快能畫好。但是“等體積”怎么畫呢？學生會發現接下來要畫的只能是“高”了，“底”配上“高”才有體積。畫“體積”其實是一種間接的畫，需要推算，要晚一步才能畫，要讓學生先有這樣的基本認知。

二、重視錯例分析：“體積”推算，多展示交流錯誤

如上所述畫一對“等底等體積”的圓柱和圓錐，“畫體積”相對較難，因此不僅要允許學生出錯，還要呈現錯例，分析對比。學生很可能在畫出“等底”后又畫了“等高”。畫的時候，學生會出現混亂、畫錯高度，可一旦圖形真的畫出來后，他們也會發現這是“等底等高”，那“體積”一定是圓柱的大，能認識到自己畫錯了。畢竟學生對“尖尖的圓錐比較小，圓筒般的圓柱比較大”的直觀感知是充分的。這是一種正向驗證，也很有價值。

三、體現畫圖優越性：讓學生關注到“1”與“3”的清楚呈現

當學生能夠“正向驗證”，將圓柱與圓錐的“底”和“高”畫出“差異”時，要將“差異”量化，盡可能清楚地表現出1∶3的關系，讓學生畫圖之后就知道問題的答案，感受到作圖的優越性。